Page 30 - Buku Paket Kelas 11 Matematika

Dengan demikian terbukti bahwa, P(k + 1) = 12 + 22 + 32 + . . . + k2 + (k + 1)2 > (k +1)3 adalah benar.
Karena P(n) = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 > n3 memenuhi kedua prinsip induksi 3
matematika, maka formula P(n) = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 > n3 adalah benar, untuk setiap n bilangan asli. 3
Contoh 1.8
Diberikan x1 = 1 dan xn + 1 = 1+2xn , n bilangan asli. Buktikan bahwa xn < 4, untuk setiap n ≥ 1.
Alternatif Penyelesaian:
Dengan x1 = 1, kita dapat menentukan nilai untuk setiap xn, n ≥ 1.
Akan ditunjukkan bahwa P(n) = xn < 4 dengan xn + 1 = 1+ 2xn , x1 = 1, n ≥ 1 memenuhi kedua prinsip induksi matematika.
3
a) Langkah Awal
Untuk n = 1, diperoleh P(2) = x2 = 1+ 2x1 =
Akibatnya P(2) = x2 = 3 , dan 3 < 16 .
Dengan demikian terbukti bahwa P(2) = x2 =
b) Langkah Induksi
1+ 2.(1) = 3 . 3 < 4.
P(3) = x3 = 1+ 2x2 = 1+ 2 3 < 1+ 2 9 = 4 . Dengan demikian 4
diperoleh P(3) benar.
Dengan cara yang sama, karena P(4) benar maka P(5) benar. Demikian
seterusnya hingga disimpulkan P(k)= xk = 1+ 2xk−1 < 4 .
Untuk n = k + 1, maka x(k+1)+1 = xk+2 = 1+2.xk+1 . Selanjutnya akan
ditunjukkan bahwa xk + 2 = 1 + 2.xk +1 < 4 .
Jika kita mengkaji lebih jauh hubungan antar suku-suku barisan xi, dapat dituliskan bahwa:
• Jika k = 3, maka x4 = 1+ 2x3 = 1+ 2 3 < 1+ 2 94 = 4 .
22 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK