Page 28 - Microsoft Word - แคลคูลัส.docx

ระนาบ
การประยุกตของผลคูณเชิงสเกลารที่สําคัญในทางเรขาคณิตวิเคราะหในปริภูมิ 3 มิติอีกอยาง หนึ่ง ก็คือ สามารถใชหาสมการของระนาบโดยกําหนดเงื่อนไข ดังนี้ จุดหนึ่งจุดและเวกเตอรที่ตั้งฉากกับ ระนาบหรือจุดสามจุดบนระนาบที่ไมไดอยู บนระนาบเดียวกัน
และระนาบ จะไดวา
S ตั้งฉากกับเวกเตอร ní⃗ = 〈a, b, c〉 จากสมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร
ax+by+cz−〈axë + byë + czë〉=0 ใหd=−〈axë + byë + czë〉=0 นั่นคือax+by+cz+d=0
พิสูจน ใหจุด P (x , y , z ) เปนจุดที่อยูบนระนาบ P(x, y, z) เปนจุดใด ๆ บนระนาบ ëëëë
ë
〈A, b, c〉 ∙ 〈x − xë, y − yë, z − zë〉 = 0
íííííí⃗
ín⃗ ∙ P P = 0
28
บทนิยาม ถาระนาบ S ผานจุด P (x , y , z ) จุด P(x, y, z) เปนจุดใด ๆ บนระนาบ S และระนาบ ëëëë
S ต้ังฉากกับเวกเตอร ní⃗ = 〈a, b, c〉 แลวสมการรูปทั่วไปของสมการระนาบ คือ
ax + by + cz + d = 0
เมื่อ a, b, c และ d เปนคาคงที่ โดยที่ a, b และ c ไมเปนศูนยพรอมกัน