Page 92 - Echte wiskunde

80 P.W. Hemker
Omstreeks in dezelfde tijd valt het werk van Galois(1811–1832), die door het invoeren van het begrip permutatie-groep de theorie der algebraïsche vergelijkingen, volledig opklaarde.
In de 19de eeuw beleefde de algebra een ontzagwekkende ontwikkeling, opgestuwd door de getaltheorie. de functietheorie, meetkunde en de verzamalingstheorie (Cantor 1845–1918). Een uiterst belangrijk onderdeel van de wiskunde werd de lineaire algebra: het rekenen met vectoren en matrices. Omstreeks 1900 brak de abstracte algebra door (de studie van lichamen, ringen, idealen, etc., los van het klassieke getalbegrip), sterk onder invloed van Hilbert (1862–1943).
Analyse.
Hieronder verstaat men tegenwoordig alles wat op de differentiaal en integraalrekening steunt, of iets algemener: alles wat op het limietbegrip berust. De differentiaal- en integraalrekening werd ongeveer gelijktijdig door Leibniz (1646–1716) en Newton (1642–1727) ontwikkeld, min of meer onafhankelijk van elkaar.
Reeds met Newton zette de grootscheepse toepassing van de analyse op de natuurwetenschap- pen in. Newton zelf beschreef de mechanica van het zonnestelsel ermee. In het bijzonder moet Euler (1707-1783) genoemd worden, die op de meest uiteenlopende gebieden baanbrekend werk verrichtte.
Hoofdzakelijk bij Cauchy (1789–1857) komt de theorie der complexe functies van een complexe veranderlijke (de z.g. functietheorie) tot een hechte fundering. Later gaf Riemann (1826-1866) op de functietheorie een geheel nieuwe visie die leidde tot een fraaie afgesloten theorie van de algebraïsche functies.
Cauchy heeft de strengheid ingevoerd in de analyse. Vóór Cauchy werkte men slordig, vaak
zonder behoorlijke definities, en min of meer intuïtief. Dit gaf herhaaldelijk tot ernstige fouten
aanleiding. Zelfs Euler schreef, dat de oneindige reeks 1−1+1−1+1−1+··· de som 1 had, 2
zonder dat hij een definitie voor de som van een oneindige reeks had gegeven. (Inderdaad kan men met verschillende argumenten betogen, dat het wel eerlijk zou zijn als de som 1 was, maar
2
ook 0 is wel eerlijk.)
Vóór Cauchy ging men uit van de gedachte dat allerlei begrippen (zoals getal, limiet, integraal,
oneindig) bestonden zonder dat men ze gedefiniëerd had. Men dacht, dat men ze slechts behoefde te analyseren; dat men uit de eigenschappen (die men enigszins experimenteel vaststelde) tot de ware inhoud van het begrip zou moeten komen. De voornaamste oorzaak voor deze vreemde houding is waarschijnlijk de geweldige toepasbaarheid van de analyse in de natuurwetenschappen en in de meetkunde, waardoor men een soort richtsnoer voor de waarheid kreeg. Natuurlijk houden we nog restanten van deze intuïtieve acceptatie over, maar deze hebben betrekking op meer fundamentele zaken, zoals het verzamelings-begrip en de logica.
Een nieuwe denkrichting werd in de analyse gebracht door Hilbert (1862-1943). Deze voerde een nuttige meetkundige terminologie in: In een zekere klasse van functies noemt hij elke functie een punt; de gehele klasse heet een ruimte. Er ontstaan dan sterke analogieën met gewone vec- torruimten en de theorie der lineaire integraalvergelijkingen verschijnt als een voortzetting, van de gewone lineaire algebra. Het wiskunde-vak waarin functies op deze manier bestudeerd worden het functionaalanalyse.
Getaltheorie.
Hieronder verstaat men de leer der gehele getallen. De eenvoudigste begripsvormingen waren omstreeks 300 v.C. al bij Euclides aanwezig. Deze bewijst bijv., dat er oneindig veel priemge- tallen bestaan. De theorie der onbepaalde vergelijkingen (dat zijn vergelijkingen waarvan zowel de coëfficiënten als de onbekenden gehele getallen zijn) wordt aan Diophantus (ca. 250 n.C.) toegeschreven, maar schijnt in feite pas later door Arabische mathematici te zijn bewerkt.