Page 132 - Classeur Maths 2019 - 2020
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La contraposée du théorème de Pythagore :
Remarque : Certains professeurs demandent aux élèves d’utiliser la contraposée de Pythagore lorsque
l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée
a. Qu’est-ce que la contraposée d’un théorème ?
Imaginons que l’on dispose du théorème suivant : « Si on a ‘A’ alors on ‘B’ ».
La contraposée de ce théorème serait : « Si on n’a pas ‘B’ alors on n’a pas ‘A’ ».
Contrairement à la réciproque, la contraposée d’un théorème est toujours vraie.
b. La contraposée de Pythagore :
Si un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la
somme des carrés des 2 autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.
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Si dans un triangle ABC, on peut vérifier que CB ≠ AB + AB , alors ABC
n’est pas rectangle.
c. Application de la contraposée de Pythagore : montrer qu’un triangle n’est pas rectangle
Exemple :
IJK est un triangle tel que IJ= 5,4 cm ; JK= 3,5 cm et KI= 4,1 cm.
Est-ce que IJK est rectangle ?
ère
1 étape : « On calcule séparément »
Si le triangle IJK était rectangle, l’hypoténuse serait IJ (car c’est le
plus grand côté).
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KI + KJ = 4,1 + 3,5 = 29,06
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IJ = 5,4 = 29,16
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Attention le début de la démonstration est le même
que pour la réciproque mais les dernières étapes
sont différentes
2 ème étape : « On remarque ... »
On remarque que KI + KJ ≠ IJ 2
2
3ème étape : « Conclusion »
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle IJK n’est pas rectangle
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