Page 43 - E-MODUL STRUKTUR ALJABAR

didefinisikan sebagai x * y = x + xy!

(Pembuktian diserahkan kepada pembaca)

Contoh 4: Perkalian Matrik 2 x 2

Didefinisikan = {[ ] | , , , ∈ , − ≠ 0} dengan operasi * adalah perkalian

matriks. Selidiki apakah G dengan operasi * merupakan grup?

Penyelesaian :
 Ambil sembarang , , , , , , , ℎ ∈ − ≠ 0, ℎ − ≠ 0 sehingga:

+ + ℎ
( ) ∗ ( ) = ( ) ( ) = ( ) ∈
ℎ ℎ + + ℎ
Jadi operasi * pada Z bersifat tertutup

 Ambil sembarang , , , , , , , ℎ, , , ∈ − ≠ 0, ℎ − ≠ 0

− ≠ 0

[( ) ∗ ( )] ∗ [ ]
ℎ

= [( ) ( )] [ ]
ℎ
+ + ℎ
= ( )( )
+ + ℎ
( + ) + ( + ℎ) ( + ) + ( + ℎ)
= ( )
( + ) + ( + ℎ) ( + ) + ( + )

Perhatikan juga bahwa

( ) ∗ [( ) ∗ ( )]
ℎ

= ( ) ( ) ( )
ℎ
+ +
= ( ) ( )
+ ℎ + ℎ

( + ) + ( + ℎ ) ( + ) + ( + ℎ )
= ( )
( + ) + ( + ℎ ) ( + ) + ( + ℎ )
+ + + ℎ + + + ℎ
= ( )
+ + + ℎ + + + ℎ
( + ) + ( + ℎ) ( + ) + ( + ℎ)
= ( )
( + ) + ( + ℎ) ( + ) + ( + ℎ)

[( ) ∗ ( )] ∗ [ ] = ( ) ∗ [( ) ∗ ( )]
ℎ ℎ
<G, *> bersifat asosiatif

E-Modul Struktur Aljabar Page 37