Page 8 - Производная_Ф

1.5 Табличные производные

Начнём с функции, которая является константой: f(x) = c. Приращение этой функции равно
нулю:
∆f = f(x + ∆x) − f(x) = c − c = 0.

Соответственно, обращается в нуль и производная:

∆f 0
0
f (x) = lim = lim = lim 0 = 0.
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0
Итак, имеем первый результат производная константы равна нулю:

0
c = 0.
a
Теперь будем дифференцировать степенную функцию, то есть функцию вида f(x) = x .
Найдём производную самой простой такой функции f(x) = x. Приращение функции:

∆f = f(x + ∆x) − f(x) = x + ∆x − x = ∆x.

Производная:
∆f ∆x
0
f (x) = lim = lim = lim 1 = 1.
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0
Итак,
0
x = 1.
2
Перейдём к функции f(x) = x . Это абстрактный аналог рассмотренной выше физической
2
ситуации с s(t) = t , в которой мы искали мгновенную скорость. Нам остаётся лишь повторить
(в других обозначениях) те вычисления, которые привели нас к формуле (10).
Приращение функции:

2
2
2
2
2
∆f = f(x + ∆x) − f(x) = (x + ∆x) − x = x + 2x∆x + ∆x − x = ∆x(2x + ∆x).
Производная:
∆f ∆x(2x + ∆x)
0
f (x) = lim = lim = lim (2x + ∆x) = 2x.
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0
Таким образом,
x 2 0 = 2x.

3
Проделаем то же самое с функцией f(x) = x . Приращение функции:
3
3
∆f = f(x + ∆x) − f(x) = (x + ∆x) − x =
2
2
3
3
2
2
3
= x + 3x ∆x + 3x∆x + ∆x − x = ∆x(3x + 3x∆x + ∆x ).
Производная:
2
2
∆f ∆x(3x + 3x∆x + ∆x )
2
0
2
2
f (x) = lim = lim = = lim (3x + 3x∆x + ∆x ) = 3x .
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0
Итак,
2
x 3 0 = 3x .
7