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예제 14 산술평균과 기하평균을 이용하여 최댓값과 최솟값 구하기

1 4
x > 0 , y > 일 때, x + y b m y + x l 의 최솟값을 구하시오.
0
c

1 4 4 4 개념 다지기
4
1
c x + b m y + l = xy +++ = xy + + 5
y x xy xy 산술평균과 기하평균의 관계 유형
4 4 a + b 02
xy + xy + 5 $ 2 xy # xy + 5 = 2 # + 5 = a > 0 , b > 0 일 때, 2 $ ab
9
2
b
4 (단, 등호는 a = 일 때 성립) 명
(단 , 등호는 xy = xy , 즉 xy = 일 때 성립)
2
제
따라서 구하는 최솟값은 9 이다.
꼼수풀이 등호의 성질 이용

1 4 4 4 4 2
2
1
4
c x + y b m y + x l = xy +++ xy = xy + xy + 5 에서 xy = xy , xy = 4 , xy = , 2 즉 xy = 일 때 최솟값을 가지므로
^h
4 4
9
따라서 구하는 최솟값은 xy + xy + 5 = 2 + 2 + 5 = 이다.
예제 15 산술평균과 기하평균을 이용하여 최댓값과 최솟값 구하기
1
x > 일 때, x + 의 최솟값을 구하시오.
2
4
x - 2
1 1 1 개념 다지기
2 #
2 +
x 4 + = 4] x - g + 8 $ 2 4] x - g + 8 = 12
x - 2 x - 2 x - 2 산술평균과 기하평균의 관계
1 5 a + b
2 =
(단 , 등호는 4] x - g , 즉 x = 일 때 성립) a > 0 , b > 0 일 때, $ ab
x - 2 2 2
b
(단, 등호는 a = 일 때 성립)
따라서 구하는 최솟값은 12 이다.
꼼수풀이 등호의 성질 이용

1 1 1 1 1 5
2 +
2 =
2
2 =
x 4 + x - 2 = 4] x - g x - 2 + 8 에서 4] x - g x - 2 , 4] x - g 2 1 ] 2 = 4 , x - 2 = 2 , x = 2
, x - g
5
즉 x = 일 때 최솟값을 가지므로
2
1 5 1
따라서 구하는 최솟값은 x4 + x - 2 = 4 # 2 + 5 = 12 이다.
2 - 2
예제 16 코시-슈바르츠의 부등식
다음 물음에 답하시오.
4
3
1 ]g 실수 ,xy 에 대하여 x + y = 일 때, x + y 4 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
2
2
2
2
2
2
2
,
2 ]g 실수 ,ab xy 에 대하여 a + b = 8 , x + y = 일 때,
,
ax + by 의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
2
2
1 ]g 3 + 4 ^ g x + y $ ^h x 3 + y 4 h 에서 x + y = 4 이므로 개념 다지기
2
2
2
2
2
]
코시-슈바르츠의 부등식
3 + y 4 h 2 # 25 # 4 = 100
x
^
,
,
x y , ab xy 가 실수일 때,
그러므로 10 # x 3 + y 4 # 10 단 c , 3 = 4 일 때성립 m ] a + g x + y $ ^h ax + byh
,
-
2
2
2
2
2
b ^
따라서 x3 + y 4 의 최댓값은 10 최솟값은 10 이다. (단, 등호는 a x = y b 일 때 성립)
-
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 ]g a + g x + y $ ^h ax + byh 에서 a + b = 8 , x + y = 이므로 대입하면
]
b ^
2
-
8 # 2 $ ^ ax + byh 2 , ax + by # 16 에서 4 # ^ ax + by # 4 이다.
h
^
h
-
따라서 ax + by 의 최댓값은 ,4 최솟값은 4 이다.
039