Page 7 - Boletín CIMAT núm. 17 octubre 2019

La Teoría de Matrices Aleatorias ayuda a modelar fenómenos de partículas que presentan repulsión, de hecho, fueron estudiadas por el ganador del premio Nobel Eugene Wigner mientras investigaba los niveles de energía de los núcleos atómicos.
Por otro lado, existen varias técnicas para simular puntos en la esfera que tengan ciertos patrones, en particular, por medio de las matrices aleatorias, los puntos se acomodan en regiones que se repelen mutuamente.
Con un método usado anteriormente en CIMAT, el patrón que se observa es que la esfera se divide en seis componentes. En el Verano de Investigación Científica de la Academia Mexicana de Ciencias, bajo la dirección de Víctor Pérez Abreu, propusimos una variante de la técnica anteriormente mencionada. Por medio de la versión modificada, los patrones en la esfera cambiaron radicalmente, como se puede apreciar en la página. En la parte superior están colocadas las figuras obtenidas con el método original, y en la parte inferior tenemos las figuras duales generadas con la variante.
¿Puedes identificar las parejas correspondientes? Si observas cuidadosamente, notarás que los colores o tonos, tanto en la parte superior o inferior son los mismos, únicamente variando la intensidad.
Las figuras de la misma tonalidad conforman una pareja. Es interesante, como un cambio en el proceso de simulación estocástica, puede alterar la topología en las regiones formadas. El método usado en CIMAT, consiste en generar puntos en R2 o R3, y luego mandar esos puntos al círculo o a la esfera.
La variante propuesta consiste en generar puntos en el círculo con repulsión, como se usa en CIMAT, y luego desdoblar esos puntos; por ejemplo, piensa que tienes un cordón de un zapato: si unes las puntas del cordón obtienes un círculo (pasamos de un segmento a un círculo) y cuando separas las puntas te quedas con un segmento (así pasamos del círculo al segmento). Repetimos eso dos veces, y así tenemos puntos en un rectángulo, como se puede ver en la figura de color rosado claro. Finalmente mapeamos esos puntos a la esfera y así obtenemos el resto de figuras en la parte inferior.
Arte con matrices Aleatorias y Geometría Boletín Mensual 7 de Información