Page 9 - Boletín CIMAT octubre 2021

Como una somera muestra de los productos y resultados presentados por el CIMAT en su informe correspondiente al primer semestre del 2021, presentaremos en esta sección algunos de los trabajos que cada área ha identificado como representativos de su quehacer.
Damos inicio a esta serie de tres publicaciones, con las aportaciones identificadas por el área de Matemáticas Básicas, agradeciendo a sus investigadores la información remitida a través de la Dra. Silvia Jerez, coordinadora del área.
En el caso de Matemáticas Básicas, la información se centra en la selección y descripción de los siguientes artículos:
Leykin A., Martín del Campo A., Sottile F., Vakil R., Verschelde J., Numerical Schubert calculus via the littlewood-richardson homotopy algorithm, Mathematics of Computation, 329, 1407-1433, 2021.
La parte más destacada de este artículo es el desarrollo teórico y práctico de un algoritmo para resolver ciertas ecuaciones de gran relevancia en Geometría Algebraica, que se basa en unas deformaciones geométricas publicadas en el Annals of Mathematics por Ravi Vakil (coautor del trabajo). Este algoritmo es, probablemente, el algoritmo numérico más complicado dentro del área de Geometría Algebraica Numérica que se conoce a la fecha. Este trabajo extiende en generalidad trabajos anteriores, tanto de Sottile, Leykin, Verschelde y de Abraham Martín del Campo, en línea de investigación en geometría del cálculo de Schubert (en la Grassmanniana).
El impacto que tiene dentro del área de Geometría Algebraica, es que los algoritmos propuestos permiten resolver de manera computacional problemas geométricos de manera particular, para elaborar conjeturas que desemboquen en teoremas. Este nuevo algoritmo se puede combinar con otros métodos para explorar los grupos de Galois de estos problemas geométricos. También tiene impacto en otros problemas relacionados
con el famoso problema de asignación de polos (o matrices, en este caso). Este trabajo ha derivado en artículos posteriores. Queda pendiente expandir este método al cálculo de Schubert en no Grassmannianas.
Alejandro Betancourt de la Parra, Jurgen Julio Batalla, Jimmy Petean, Global bifurcation techniques for Yamabe type equations on Riemannian manifolds, Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 202, 112- 140, 2021.
Un problema abierto de gran importancia en Geometría Diferencial, y también de gran complejidad, es entender el espacio de soluciones a la ecuación de Yamabe en las esferas homogéneas. En este trabajo se construyen soluciones que bifurcan de las soluciones triviales, pero es importante entender hasta qué punto estas son todas las soluciones que aparecen por bifurcación y si el espacio de soluciones es conexo. El artículo estudia bifurcación global y en él se prueba la existencia de soluciones múltiples para ecuaciones supercríticas (en el sentido del exponente de Sobolev). Los resultados del artículo implican nuevos casos de multiplicidad de soluciones positivas a la ecuación de Yamabe en casos de interés, como el de las clases conformes de métricas homogéneas en esferas.
Calabuig J.M., Fernández-Unzueta M., Galaz- Fontes F., Sánchez-Pérez E.A., Maximal Factorization of Operators Acting in Köthe– Bochner Spaces, Journal of Geometric Analysis, 31, 570-578, 2021.
Una línea de investigación de gran relevancia en Análisis Funcional es el desarrollo de métodos eficaces para la representación de operadores multilineales en distintas clases de espacios. En este trabajo usando la metodología de “dominio óptimo”, se exhibe como un operador lineal y acotado puede ser extendido en el contexto más natural. De esta forma se proporciona
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