Page 148 - Echte wiskunde

136 matrixvorm
P.W. Hemker
4.1.3 Een bilineaire functie

y1  .
x1
. ,
 = A
waarin A de n×n-matrix met elementen aik voorstelt. Gaan we door de coördinatentransformatie
yn
(4.2) op de basis ⃗u1, . . . , ⃗un over, dan vinden wij
 y′   y   x   x′ 
1111  .  = S−1  .  = S−1A  .  = S−1AS  .
yn′ yn xn x′n Ten opzichte te van de basis ⃗u1, . . . , ⃗un wordt α dus gegeven door
 .
waarin B = S−1AS
y′ x′
 ,
11
 .  = B  . yn′ x′n
(4.4)
Laat φ een bilineaire functie in V zijn. Ten opzichte van de basis ⃗e1 , . . . , ⃗en wordt φ gegeven
door φ(⃗x,⃗y) = ∑n ∑n
aikxiyk. Hierin is aik = φ(⃗ei,⃗ek). Wij kunnen dit weer met behulp 
i=1 van matrices schrijven:
k=1
y1 φ(⃗x,⃗y) = (x1,··· ,xn) A  . .
yn
(4.5)
Hierin is A de matrix met elementen aik en A heet de matrix van φ ten opzichte van de basis ⃗e1,...,⃗en.
Wïj gaan door de coördinatentransformatie (4.2) over op de basis ⃗u1, . . . , ⃗un. Uit (4.2) volgt (x1,··· ,xn) = (x′1,··· ,x′n)ST
(4.5) geeft dus
φ(⃗x,⃗y) = (x′1,··· ,x′n) ST A  .  = (x′1,··· ,x′n) ST AS 
yn
Bij gevolg wordt φ ten opzichte van de basis ⃗u1, . . . , ⃗un gegeven door  y1′ 
waarin
φ(⃗x,⃗y) = (x′1,··· ,x′n) C  .  . yn′
C= STAS.
xn
 y   y′ 
11
.
.
yn′
(4.3)
(4.6)