Page 146 - Echte wiskunde

134 P.W. Hemker
zekere n.
(b) Het proces kan onbepaald voortgezet worden. In dat geval naderen de getallen λk tot 0 we- gens Gevolg 3.9.49 van Stelling 3.9.47.
In beide gevallen geldt dat de Hk eindig-dimensionaal zijn en twee-aan-twee loodrecht zijn we- gens Stelling 3.9.47. Op het orthoplement der Hk is K identiek 0, omdat er anders een nieuwe eigenvector bij een eigenwaarde ̸= 0 zou bestaan. Deze zou behoren tot één der Hk.
Daarmee is alles aangetoond.
Opmerking 3.9.51. De werking van een compacte symmetrische lineaire operator kan dus geschreven worden als
∑
Kz=
Een inproduct ⟨z, y⟩ kan geschreven worden als
∑
⟨z,y⟩ =
waarin Pk de projectie in H op Hk weergeeft.
λkzk waarbij λk ∈R, enzk ∈Hk . (3.29)
λkzkyk met zk = Pkz,yk = Pky ,
Opmerking 3.9.52. We merken op dat, als H oneindig-dimensionaal is, het beeld onder een compacte symmetrische lineaire operator K niet de gehele ruimte is.
Bewijs: We gaan uit van de vorm beschreven (3.29). We mogen aannemen dat N = {0}. Voor z=∑∞0 zk,zk ∈Hk isKz=∑∞1 λkzk.DusKH bestaatuitdepunten∑λkzk met∑∥zk∥2 < ∞. ∑
De verzameling van de genoemde punten λkzk omvat in elk geval het lineaire omhulsel der Hk maar is echt kleiner dan het gesloten lineair omhulsel der Hk want er zijn rijen (zk) waarbij ∑zk niet convergeert en ∑λkzk wel.
Opmerking 3.9.53. Betreffende de verzameling KE, E de eenheidsbol in H, kunnen we het volgende zeggen. KE bestaat uit de punten ∑λkzk met ∑∥zk∥2 ≤ 1 en is dus oneindig- dimensionaal (vooropgesteld dat het aantal indices k oneindig is). Toch is KE een relatief com- pacte verzameling.