Page 144 - Echte wiskunde

132 P.W. Hemker
voor één de beide tekens. Door zo nodig K door −K te vervangen is te bereiken dat ⟨Kxn, xn⟩ → ∥K∥. Omdat de rij (xn) begrensd is en K compact is, bestaat er een deelrij (xni ) zodat (Kxni ) convergeert. We mogen aannemen dat de reeks (Kxn) al convergeert, stel naar y.
Stel nu μ = ∥K∥. Dan is
∥Kxn − μxn∥2 = ⟨Kxn, Kxn⟩ − 2μ ⟨Kxn, xn⟩ + μ2 ⟨xn, xn⟩
→ ∥y∥2 −2μ∥K∥+μ2 =∥y∥2 −μ2 voor n→∞.
Dus ∥y∥2 −μ2 ≥ 0, ∥y∥ ≥ μ. Anderzijds is ∥Kxn∥ ≤ ∥K∥∥ ̇xn∥ = μ voor alle n, dus ∥y∥ ≤ μ. Dus |y∥ = μ. Dit heeft twee gevolgen:
(a) Wegens K ̸= 0 is ∥K∥ > 0. Dus ∥y∥ > 0, dus y ̸= 0.
(b) ∥Kxn − μxn∥ → 0 voor n → ∞.
Dusμxn →yvoorn→∞.UitKxn−μxn →0volgtdanK(y)−y=0,ofwelKy=μy. μ
De beweringen (a) en (b) houden in dat μ eigenwaarde is van K. Daarmee is de stelling bewezen.
Stelling 3.9.47. Zij K een compacte symmetrische lineaire operator op H. Zij verder ε > 0. Dan zijn er slechts eindig veel eigenvectoren x1, . . . , xk zodat geldt:
(1) xi is een eigenvector bij een eigenwaarde λi met |λi| ≥ ε, (i = 1, . . . , k).
(2) ⟨xi,xj⟩ = 0 als i ̸= j.
Bewijs: Stel dat er een oneindige rij vectoren x1, x2, . . . is met de eigenschappen (1) en (2). We normeren de vectoren xi zodat ∥xi∥ = 1 voor alle i, dan is (xi) een begrensde rij. Verder is voor
i ̸= j
Dan heeft de rij (Kxi) geen convergente deelrij. We krijgen dus een tegenspraak.
Gevolg 3.9.48. Bij een vaste eigenwaarde ̸= 0 zijn er ten hoogste eindig veel onafhankelijke eigenvectoren.
Gevolg 3.9.49. Als er oneindig veel eigenwaarden zijn, dan vormen deze een rij die tot 0 nadert De ontbindingsstelling voor compacte symmetrische operatoren
Stelling 3.9.50 (Ontbindingsstelling voor compacte symmetrische operatoren). Zij K : H → H een begrensde lineaire operator op de Hilbertruimte H, dan geldt: K is compact en symmetrisch desda een afbrekende of oneindige rij eindig-dimensionale deelruimten H1, H2, . . . van H en een bijbehorende rij van reële getallen λ1, λ2, . . . bestaan zodat geldt:
(1) Voor iedere λk en bijbehorende Hk geldt ∀z∈Hk Kz = λkz.
(2) λk ̸= 0 voor alle k. Is de rij oneindig, dan is bovendien limk→∞ λk = 0.
(3) Hk is eindig-dimensionaal.
(4) De deelruimten Hk zijn onderling loodrecht.
(5) Met N het orthoplement van het gesloten lineair omhulsel der Hk, geldt ∀z∈N Kz = 0. Bewijs: K is een begrensde lineaire operator op H.
Eerste helft: We laten eerst zien dat uit (1) tem (5) volgt dat K compact en symmetrisch is.
We stellen H0 = N en λ0 = 0. Dan zijn H0, H1, H2, . . . gesloten lineaire deelruimten van H, twee aan twee loodrecht en met gesloten lineair omhulsel H. Zij z een willekeurig punt van H. Wegens stelling 3.9.27 kunnen we schrijven z = ∑∞k=0 zk, waarbij zk de projectie is van z op Hk. Volgens het gegeven geldt ∀k Kzk = λkz. Omdat K een continue lineaire operator is, hebben we
√ ∥Kxi −Kxj∥=∥λixi −λjxj∥≥ε 2.