Page 142 - Echte wiskunde

130 P.W. Hemker voor n, m → ∞, omdat de eerste component tot 0 nadert en de tweede begrensd is. Dus is (Kxn)
convergent. Daarmee is bewezen dat K compact is.
Gevolg 3.9.35. Is K compact, dan is ook K∗ compact.
Bewijs: K∗ is begrensd omdat K begrensd is. Dan is KK∗ compact. Dus (K∗)∗K∗ is compact. Wegens de stelling is dan K∗ compact.
Definitie 3.9.36 (operator van eindige rang). Een lineaire operator K : H → H heet van eindige rang als de beeldverzameling KH eindig-dimensionaal is (Deze beeldverzameling is altijd een lineaire deelruimte van H.)
Stelling 3.9.37. Zij K : H → H een lineaire operator op H. Als dat K begrensd is èn van eindige rang, dan is K compact.
Bewijs: Is (xn) een begrensde rij, dan is (Kxn) een begrensde rij in een eindig-dimensionale deelruimte en heeft dus een convergente deelrij.
Opmerking 3.9.38. Een lineaire operator van eindige rang is niet noodzakelijk begrensd. een lineaire operator op een eindig-dimensionale Hilbertruimte is zowel begrensd als van eindige rang.
Stelling 3.9.39. Een lineaire operator K : H → H is compact desda elke begrensde verzameling door K wordt overgevoerd in een relatief compacte verzameling. Of ook: met E de eenheidsbol, K is compact als KE een relatief compacte verzameling is in H.
Bewijs: Zij K : H → H een compacte lineaire operator en zij A een begrensde verzameling in H. Voor elke oneindige rij (xn) in A heeft dan (Kxn) een convergente deelrij. Maw elke oneindige rij in de beeldverzameling KA heeft een convergente deelrij. Dan is KA relatief compact Deze redenering is om te keren.
Stelling 3.9.40. Laten K,Kn (n ∈ N) lineaire operatoren op H zijn. Zij K begrensd en Kn
compactvoorn∈N.Zijverder∥K−Kn∥→0voorn→∞.DanisookK compact.
Bewijs: Zij ε > 0 willekeurig. Zij E de eenheidsbol en N een index zodat n > N ⇒ ∥K−Kn∥ <
ε/2. We gebruiken Stelling 3.9.31. Er zijn eindig veel punten xk, . . . , xk zodat KnE wordt overdekt
door bollen Uε (x1),Uε (x2),...,Uε (xk). Voor x ∈ E is ∥Kx − Knx∥ < ε/2 en behoort dus Kx 222
tot een de bollen Uε(xi). Dus KE wordt overdekt door eindig veel bollen Uε(xi). Dus KE is relatief compact. Dus K is compact.
Eigenschappen van symmetrische operatoren
Er zijn algemenere voorbeelden van compacte operatoren. We beschouwen speciaal compacte symmetrische operatoren. We zullen uiteindelijk de belangrijke ontbindingsstelling voor compacte symmetrische operatoren bewijzen, die betrekking heeft op de eigenwaarden en eigenvectoren van de operator. We geven daarvoor hier eerst een definitie.
Definitie 3.9.41 (eigenwaarden, eigenvectoren). Een getal λ ∈ C heet eigenwaarde van een operator K : H → H op een Hilbertruimte H, als er een element 0 ̸= z ∈ H bestaat met Kz = λz. Elke z ∈ H met Kz = λz heet eigenelement (of eigenvector) behorend bij λ.
We leiden nu eerst een aantal eigenschappen van symmetrische operatoren af, die bekend zijn voor eindig-dimensionale ruimten, Steeds is A een symmetrische (Hermitische) begrensde operator.
Stelling 3.9.42. Zij A een symmetrische begrensde lineaire operator op H. Dan is
∥A∥ = sup ⟨Ax, x⟩ . ∥x∥≤1