Page 140 - Echte wiskunde

128 P.W. Hemker
Stelling 3.9.27 (Pythagoras in oneindig veel dimensies). Zij H een Hilbertruimte en laten H1 , H2 , . . . gesloten lineaire deelruimten van H zijn. Onderstel:
(1) de Hk staan twee aan twee loodrecht op elkaar.
(2) het volledig lineair omhulsel der Hk is H, dwz het lineair omhulsel der Hk, bestaande uit alle eindige sommen z1 + z2 + ··· + zk, met zi ∈ Hi voor i − 1,2,...,k, k ∈ N willekeurig, ligt dicht in H. Dan geldt, Als we schrijven Pk = PHk, (k = 1,2,...):
(1.) Als zk ∈ Hk, met k ∈ N en ∑∞k=1 ∥zk∥2 < ∞ dan convergeert ∑∞k=1 zk naar een element z ∈ H. Daarbij geldt verder ∀k∈N Pkz = zk.
(2.) Voor elk element z ∈ H is ∑∞k=1 ∥zk∥2 < ∞. Tevens is
∑∞ 2 k ∈ N, en k=1 ∥zk∥
k=1
zk een fundamentaalrij wegens
Bewijs:
(1) zij zk ∈ Hk (k ∈ N) en
∑
2 ∑ ∥zk∥ < ∞. Dan is
∑∞ ∥z∥2 =
∑∞ k=1
∥Pkz∥2
Gevolg 3.9.28. H bestaat juist uit de elementen z van de vorm z = ∑∞
en
zk met zk ∈ Hk, < ∞. Dit is ten dele een generalisatie van de resultaten in sectie 3.7.3.
k=1
∑n 2 ∑n
zk ≤ ∥zk∥2 .
k=m+1 k=m+1 Dus convergeert ∑zk naar een element z ∈ H. Tevens is
Pkz = Pk lim (z1 +···+zn) = lim Pk(z1 +···+zn) = zk , n→∞ n→∞
omdat Pk een continue operator is en Pkzi = 0 voor i ̸= k en Pkzk = zk.
(2) Zij z ∈ H en zij yk een willekeurig element van Hk voor k ∈ N. Bij gegeven z en gegeven k is ∥z − ∑ki=1 yi∥ minimaal als
∑k i=1
Het laatste is het geval als we nemen yi = Piz = zi (i = 1,...,k). Daarbij is ∑k ⟨∑k ∑k⟩⟨∑k⟩
Dus ∥z∥2−∑k i=1
i=1
∥zi∥2 ≥ 0 voor alle k. Dus de reeks ∑∥zk∥2, dwz de reeks ∑∥Pkz∥2 convergeert.
z−
i=1
zi = =
z− zi , z− i=1
zi i=1
= z− zi , z = i=1
Wegens (1) convergeert nu loodrecht op alle Hk, dus y = z.
∑
z−
yi ⊥ H1,...,Hk .
∑k
∥z∥2− ⟨zi,z⟩=∥z∥2−
z =
Pkz .
∑k
zk, stel naar y. Daarbij is ∀k∈N Pky = zk = Pkz. Dus y − z staat
∑k 2 ∑k 2 2 ∑∞ 2 Tenslotte is i=1 zi = i=1 ∥zi∥ . Door limietovergang volgt ∥z∥ = i=1 ∥zi∥ .
∥zi∥2 . i=1