Page 139 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 127 We leiden nu de volgende eenvoudige eigenschappen af.
Stelling 3.9.23. Is P projector, dan is 0 ≤ P ≤ I. Hier is 0 de nul-operator en I de identiteit. Bewijs: Voor elke z zien we direct in dat 0 ≤ ∥P z∥ ≤ ∥z∥.
Stelling 3.9.24. Laten P1,P2 projectoren zijn op G1, resp. G2. Dan geldt: P1P2 =0⇔G1 ⊥G2
(In de ring der begrensde lineaire operatoren op H komen blijkbaar nuldelers voor.)
Bewijs:
(1) Zij P1P2 = 0. Voor het inproduct van twee vectoren x1, x2 uit G1, resp. G2 hebben we dan
⟨x1, x2⟩ = ⟨P1x1, P2x2⟩ = ⟨z1, P1P2x2⟩ = 0 .
Dus G1 ⊥ G2.
(2) Zij G1 ⊥ G2. Dan ∀z1,z2∈H ⟨z1, P1P2z2⟩ = ⟨P1z1, P2z2⟩ = 0. Dus P1P2 = 0.
Stelling 3.9.25. Laten P1, P2, . . . , Pn projectoren zijn op G1, G2, . . . , Gn. Dan geldt (PiPk = 0 voor i ̸= k) ⇔ P1 +P2 +···+Pn is een projector.
Bewijs:
(1) Zij PiPk = 0 voor i ̸= k. Stel P = P1 + P2 + · · · + Pn, dan is P 2 = (P1 + P2 + · · · + Pn)2 = P12 +P2 +···+Pn2 = P1 +P2 +···+Pn = P en P∗ = (P1 +P2 +···+Pn)∗ = P1∗ +P2∗ +···+Pn∗ = P1 + P2 + · · · + Pn = P .
(2) Zij P = P1 +P2 +···+Pn een projector en laten i,k twee indices zijn met i ̸= k. Voor willekeurige z is ∥Pz∥2 = ⟨Pz,z⟩ = ⟨P1z+P2z+···+Pnz,z⟩ = ∥P1z∥2 +∥P2z∥2 +···+∥Pnz∥2. Verderis∥z∥2 ≥∥Pz∥2.Dus∥z∥2 ≥∥P1z∥2+∥P2z∥2+···+∥Pnz∥2 ≥∥Piz∥2+∥Pkz∥2.Vullen we hier voor z nu Pkz in, dan krijgen we ∥Pkz∥2 ≥ ∥PiPkz∥2 + ∥PkPkz∥2 = ∥PiPkz∥2 + ∥Pkz∥2. Hieruit volgt ∥PiPkz∥ ≤ 0 zodat ∥PiPkz∥ = 0. Omdat z willekeurig is, is dus PiPk = 0.
Stelling 3.9.26. Laten weer P1,P2 twee projectoren zij op G1, resp. G2. Dan geldt: G1 ⊃G2 ⇔P1P2 =P2 ⇔P2P1 =P2 ⇔P1−P2 iseenprojector ⇔P1 ≥P2 .
Bewijs: We nummeren de beweringen (1) tem (5). We hebben:
(1)⇔(2). Immers als G1 ⊃ G2 dan is P1 de identiteit op G2 = P2H. Dus P1P2 = P2. En omgekeerd.
(2)⇒(3) Want zij P1P2 = P2, dan is P2P1 = P2∗P1∗ = (P1P2)∗ = P2∗ = P2.
(3)⇒(2) Evenzo.
(3)⇒(4) Want zij P2P1 = P2, dan is omdat ook (2) geldt (P1 −P2)2 = P12 −P1P2 −P2P1 +P2 = P1 −P2 −P2 +P2 = P1 −P2. Verder is (P1 −P2)∗ = P1∗ −P2∗ = P1 −P2 ̇(4)⇒(5) Want als P1−P2 eenprojectoris,danisP1−P2 ≥0dusP1 ≥P2.
(5)⇒(2)WantzijP1 ≥P2,danisI−P1 ≤I−P2.Voorelkez∈Hisdus∥(I−P1)P2z∥≤ ∥(1−P2)P2z∥=∥P2z−P2z∥=0.dus(I−P1)P2z=0.Dus(I−P1)P2 =0ofwelP2 =P1P2. Hiermee is de equivalentie van de 5 beweringen bewezen.