Page 137 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 125 We zien eenvoudig dat met T en S ook T∗ en ST begrensde lineaire operatoren zijn, en verder
zien we dat T∗∗ = T, en (TS)∗ = S∗T∗.
Het eindig-dimensionale geval.
In dit geval is H = Ck en ⟨x, y⟩ = ∑ki=1 xiyi (bij geschikte basis-keuze). T ∗ voldoet aan ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T ∗y⟩. Nu is T , en dus T ∗ weer te geven door een matrix (t.o.v. de speciale basis). Introduceer
(tij) en (t∗ij) zodat
∑∗∑∗
Tei = tijej en T ei = tijej ,
jj
dan is tij = ⟨Tei,ej⟩ en t∗ij = ⟨T∗ei,ej⟩ = ⟨ei,Tej⟩ = tji, ∀ i,j = 1,...,k.
Dus in het eindig-dimensionale geval ontstaat de matrix behorende bij T∗ uit die bij T door complex conjugeren en spiegelen. (In het reële geval door enkel spiegelen: de matrix is dan symmetrisch).
Definitie 3.9.19. Een begrensde lineaire operator T op H heet Hermitisch of symmetrisch als T = T∗, dus als
⟨T x, y⟩ = ⟨x, T Y ⟩ ∀x, y ∈ H .
Voor Hermitische operatoren gebruiken we voortaan de letter A (van adjungeren). Voor de bijbehorende matrix (aij), in het eindig-dimensionale geval, betekent de voorwaarde dat aij = aji voor alle i en j.
Stelling 3.9.20. Zij A een begrensde lineaire operator op H. Dan geldt: A is Hermitisch desda de kwadratische vorm ⟨Ax,x⟩ reëel is voor alle x ∈ H.
Bewijs: (1) Zij A Hermitisch, dan geldt voor alle x ∈ H dat ⟨Ax, x⟩ = ⟨x, Ax⟩ = ⟨Ax, x⟩. Dus is ⟨Ax, x⟩ reëel.
(2) Onderstel dat Q(x) = ⟨Ax, x⟩ steeds reëel is. Neem twee willekeurige elementen x, y ∈ H . We trachten ⟨Ax, y⟩ te schrijven als een lineaire combinatie van Q-waarden. Eerst
Q(x+y)−Q(x−y) = ⟨A(x+y),x+y⟩−⟨A(x−y),x−y⟩ = 2(⟨Ax, y⟩ + ⟨Ay, x⟩)
vervangen we y door iy dan krijgen we
Q(x + iy) − Q(x − iy) = 2(⟨Ax,iy⟩ + ⟨iAy,x⟩) = 2i(⟨Ay,x⟩ − ⟨Ax,y⟩)
Dus
Als we hiervan de complex geconjugeerde nemen en x en y verwisselen, verandert het linkerlid
niet omdat Q(−z) = Q(z) en Q(iz) = ⟨iAz, iz⟩ = ⟨Az, z⟩ = Q(z). Derhalve ⟨Ax,y⟩ = ⟨Ay,x⟩ = ⟨x,Ay⟩ ,
waarmee bewezen is dat A Hermitisch is.
(Q(x+y)−Q(x−y))+i(Q(x+iy)−Q(x−iy)) = 4⟨Ax,y⟩ .