Page 136 - Echte wiskunde

124 P.W. Hemker
(1) B∗ is een lineaire ruimte
(2) de functionaal ∥ · ∥ is een norm op B∗.
Bijv. ∥u1 + u2∥ ≤ ∥u1∥ + ∥u2∥ omdat
∥u1 + u2∥ = sup∥x∥=1 |(u1 + u2)(x)| ≤ sup∥x∥=1(|u1(x)| + |u2(x)|) etc..
(3) B∗ is volledig in de norm ∥ · ∥, want zij (un) een fundamentaalrij in B∗, dan geldt:
1. de rij der normen ∥un∥ is begrensd, zeg ∥un∥ ≤ C , (n ∈ N)
2. de rij (un) is puntsgewijs een fundamentaalrij, dwz voor elke x ∈ B is een getalrij (un(x))
een fundamentaalrij. en daarmee convergent naar een getal u(x).
3. de zo gevonden functionaal u is lineair en begrensd, met norm ≤ C waarbij C de
constante uit 1. is. 4.evenzovolgtuit∀n,mnε∥un−um∥<εdatn>nε ⇒∥un−u∥≤ε.
Het bewijs volgt door deze punten eenvoudig na te gaan.
Voorbeeld 3.9.15. Als we de Hilbertruimte als Banachruimte beschouwn: B = H dan bestaat er de duale ruimte H∗. Volgens de stelling van Riesz bestaat er een 1-1-duidige afbeelding van H∗ (een Banachruimte) op H, gegeven door
u → z, waarbij u(x) = ⟨x,z⟩ ∀x∈H .
Deze afbeelding is anti-lineair, omdat ⟨x, z⟩ anti-lineair is in z: met αu correspondeert αz. Verder blijft de norm behouden. We zeggen wel dat H∗ anti-ïsometrisch is met H. In het reële geval is H∗ isometrisch met H.
Voorbeeld 3.9.16. B = l1. In dit geval is B∗ isometrisch met l∞. De isometrie wordt gegeven door u → (uk), waarbij uk = u(ek).
3.9.3 Geadjungeerde operatoren in Hilbertruimten
Van nu af beschouwen we alleen begrensde lineaire operatoren in Hilbertruimten. Zij H een gegeven Hilbertruimte en T een gegeven begrensde lineaire operator, gedefinieerd op H. Dan is ⟨T x, y⟩, met y vast, een begrensde lineaire functionaal.
wegens de stelling van Riesz is dus u(x) = ⟨T x, y⟩ van de vorm ⟨x, y∗⟩. We schrijven y∗ = T ∗y.
Definitie 3.9.17 (geadjungeerde operator). Zij T een begrensde lineaire operator op H, dan heet T∗ de geadjungeerde operator. Deze operator wordt dus gedefinieerd door
∀x,y ∈ H ⟨Tx,y⟩ = ⟨x,T∗y⟩ .
Stelling 3.9.18. T ∗ is weer lineair en begrensd en ∥T ∗∥ = ∥T ∥.
Bewijs:
(1) ∀x,y1,y2∈H;α1,α2∈C ⟨x,T∗(α1y1 + α2y2)⟩ = ⟨Tx,α1y1 + α2y2⟩ = α1⟨Tx,y1⟩ + α2⟨Tx,y2⟩ =
= α1⟨x, T ∗y1⟩ + α2⟨x, T ∗y2⟩ = ⟨x, (α1T ∗y1 + α2T ∗y2)⟩. Zodat T ∗(α1y1 + α2y2) = (α1T ∗y1 + α2T ∗y2).
(2) Vanwege (3.12) en de definitie van de norm van een operator
∥T∗∥ = sup ∥T∗y∥ = sup sup ⟨x,T∗y⟩ = sup sup ⟨Tx,y⟩ = sup ∥Tx∥ = ∥T∥ . y∈H ∥y∥ y∈H x∈H ∥x∥ x∈H y∈H ∥x∥ x∈H ∥x∥