Page 138 - Echte wiskunde

126 P.W. Hemker
3.9.4 Projectoren in Hilbertruimten
Definitie 3.9.21. Een lineaire operator P : B → B op een Banachruimte B heet een projectie als P2 = P. Een lineaire operator P : H → H op een Hilbertruimte H heet een orthogonale projectie als P2 = P en P∗ = P. De projectie heet een scheve projectie als P2 = P en P∗ ̸= P. Als er geen verwarring mogelijk is laat men in het geval van een Hilbertruimte de aanduiding ‘orthogonale’ vaak weg.
Zij G ⊂ H een gesloten lineaire deelruimte van een Hilbertruimte. Dan is H = G ⊕ G⊥, dwz elk element z ∈ H is eenduidig te schrijven als z = x+y met x ∈ G en y ∈ G⊥ (zie Sectie 3.7.2). De operator PG gedefinieerd door PGz = x is een projector. Deze operator voegt dus aan een willekeurig element z ∈ H de projectie van z op G toe. Deze operator PG : H → G ⊂ H is lineair, en ∥PG∥ = 1 (behalve als G = {0} in welk geval ∥PG∥ = 0).
Stelling 3.9.22 (karakterisering van een projectie). De projector PG : H → G ⊂ H is een orthogonale projectie. Anderzijds is een projectie P : H → PH ⊂ H een projector op PH, het beeld van P in H.
Bewijs:
(1.) Met G een gesloten lineaire deelruimte van H = G ⊕ G⊥, kan iedere z ∈ H geschreven worden als z = x + y, met x = PGz ∈ G en y = (z − PGz) ∈ G⊥. Nu geldt duidelijk PG2 z = PGx=x=PGz,zodatPG2 =PG.
Verder, voor willekeurige z1, z2 ∈ H, maken we de ontbinding z1 = x1 + y1 en z2 = x2 + y2 met x1,x2 ∈ G en y1,y2 ∈ G⊥, zodat ⟨y1,x2⟩ = 0 en ⟨x1,y2⟩ = 0.
Nu volgt ∀z1,z2∈H ⟨Pz1,z2⟩ = ⟨x1,x2 +y2⟩ = ⟨x1,x2⟩ = ⟨x1 +y1,x2⟩ = ⟨z1,PGz2⟩ = ⟨PG∗z1,z2⟩ zodat PG = PG∗ .
(2.) Zij nu P een begrensde lineaire operator, gedefinieerd op H, zodat P2 = P en P∗ = P. Voor willekeurige z1 , z2 ∈ H is dan
⟨Pz1,z2 − Pz2⟩ = ⟨z1,P(z2 − Pz2)⟩ − ⟨y,Pz2 − Pz2⟩ = 0 (3.26)
Dus in het bijzonder: (Pz) ⊥ (z − Pz) voor alle z ∈ H. We beschouwen nu de operator I − P, waarbij I de identiteit is. Zij G de nulruimte van I − P . Dan geldt
a) Voor elke z ∈ H is Pz ∈ G wegens (I − P)Pz = (P − P2)z = 0.
b) Elke x ∈ G is van de vorm P z omdat (I − P )x = 0 dus x = P x.
Dus G is de beeldruimte van H onder P, ofwel: G = PH. Voor een willekeurig punt z ∈ H is nu Pz ∈ G, en (z−Pz) ⊥ G, wegens (3.26). Dus z = Pz+(z−Pz) is een splitsing van de gewenste soort, dus P is een projectie op G.
Merk op dat G gesloten is, bijv. omdat G de nulruimte van de continue operator I − P is.
Ordening Hermitische operatoren.
We voeren nog een notatie in: zijn A en B twee Hermitische begrensde lineaire operatoren op H, dan zijn ⟨Az, z⟩ en ⟨Bz, z⟩ steeds reëel. We schrijven nu A ≤ B als geldt
⟨Az,z⟩ ≤ ⟨Bz,z⟩ ∀z ∈ H . (3.27) In het geval van projectoren kan deze relatie eenvoudiger geschreven worden. Voor een willekeu-
rige projector P is namelijk
⟨Pz,z⟩ = ⟨P2z,z⟩ = ⟨Pz,Pz⟩ = ∥Pz∥2 . Voor twee projectoren P! en P2 is dus de relatie P1 ≤ P2 equivalent met
∥P1z∥ ≤ ∥P2z∥ ∀z ∈ H . (3.28)