Page 135 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 123
Dus u(x) = α · u(x0) = ⟨x, x0⟩ · u(x0) = ⟨x, z⟩ waarin z = u(x0) · x0.
Is u(x) = ⟨x, z1⟩ en ook u(x) = ⟨x, z2⟩ op H dan is ⟨x, z1 − z2⟩ = 0 voor alle x ∈ H en dus ook ⟨z1 − z2, z1 − z2⟩ = ∥z1 − z2∥ = 0. Hieruit volgt z1 − z2 = 0. Daarmee is de stelling bewezen. Blijkbaar is ∥u∥ = |u(x0)|.
In het geval van Banachruimten is de situatie gecompliceerder. We geven eerst een voorbeeld.
Voorbeeld 3.9.13 (de ruimten l1 en l∞). Zij B = l1 en u een willekeurige begrensde lineaire functionaal op l1. Stel uk = u(ek), (k ∈ N). Dan is (uk) een begrensde rij getallen omdat de rij der normen ∥ek∥ begrensd is. Voor een willekeurig element x ∈ l1 is wegens continuïteit van u
∑n u(x) = lim u(x(n)) = lim
n→∞ n→∞
k=1 Hierbij is gesteld x(n) = (x1,...,xn,0,0,...), (n ∈ N).
ukxk =
∑∞ k=1
ukxk .
Zij omgekeerd (uk) een begrensde rij getallen. Definieer u door ∑∞
u(x)= De reeks convergeert voor alle x ∈ l1, terwijl
ukxk .
Daarbij is ∥u∥ = supk|uk|.
■
|u(x)| ≤ sup|uk| ·
|xk| = sup|uk| · ∥x∥ .
k=1
∑∞
k k=1 k
Ook is u(x) lineair in x. Dus u is een begrensde lineaire functionaal op l1.
De schatting voor u(x) kan niet verscherpt worden: voor x = ek is |u(x)| = |uk| = |uk| · ∥x∥.
Dus is ∥u∥ = supk |uk|.
Conclusie. De begrensde lineaire functionalen u op l1 corresponderen éénéénduidig met de begrensde rijen (uk) via de toevoeging
u → (uk), uk = u(ek), ∀k∈N .
In het algemeen kunnen we als volgt redeneren. Zij B een Banachruimte en B∗ de collectie der begrensde lineaire functionalen en u op B. We hebben al ∥u∥ gedefinieerd. We kunnen ook som en scalair veelvoud in B∗ definiëren: met u, u1, u2 ∈ B∗
(u1 + u2)(x) = u1(x) + u2(x) ∀x∈B (αu)(x) = α · u(x) ∀x∈B .
(3.25) De functionalen (u1 + u2) en αu zijn weer begrensd en lineair, dus elementen van B∗. Er geldt
Stelling 3.9.14 (duale ruimte van een Banachruimte).
Met de gegeven definities (3.25) voor som, scalair veelvoud en norm is B∗ weer een Banachruimte. Deze ruimte heet de duale ruimte van B.
Bewijs: Het bewijs verloopt als in het geval voor l1 of l2.
De volgende punten komen hierbij aan de orde.