Page 134 - Echte wiskunde

122 P.W. Hemker
Stelling 3.9.10 houdt in dat we, voor lineaire operatoren, de woorden continu en begrensd door elkaar mogen gebruiken. We beschouwen speciaal het geval dat D dicht is in B1 en T continu is.Zijx∈B1 en(xn)eenrijinDmetlimn→∞xn =x.Danis
∥Txn − Txm∥2 ≤ C∥xn − xm∥1 ∀n,m∈N
dus (Txn) is een fundamentaalrij in B2, convergerend naar een element y ∈ B2. Hierbij hangt y niet af van de keuze van de rij (xn), want als (x′n) een tweede rij in D is, met limiet x, en als (x∗n) ontstaat door het mengen van (xn) en (x′n), dan convergeert (Tx∗n) en is dus limn→∞ Txn = limn→∞ T x′n We mogen daarom stellen T x = y.
Door dit procédé wordt T uitgebreid tot een operator gedefinieerd op heel B1. (Voor x ∈ D stemt de nieuwe waarde T x vereen met de oude waarde omdat T continu is.) We laten zien dat de uitgebreide operator weer lineair en continu is.
Stelling 3.9.11 (voortzetting van een begrensde lineaire operator). Zij T : D ⊂ B1 → B2 lineair. Als D dicht ligt in B1 en T continu op D, dan is T eenduidig uit te breiden tot een continue lineaire operator op B1.
Bewijs:
(1) door beschouwing van een rij (αxn + βyn) volgt dat T (αxn + βyn) = αT (xn) + βT (yn). Hier α, β ∈ C en (xn),(yn) rijen in D met limiet x respectievelijk y.
(2) Uit ∥T xn∥2 ≤ C∥xn∥1, (n = 1, 2, . . .) volgt door limietovergang dat ∥T x∥2 ≤ C∥x∥1. Hierbij is (xn) een rij in D met limiet x. We merken nog op dat de uitbreiding van T uniek is: de continuïteit van T op B1 impliceert dat T x = limn→∞ T xn , wanneer (xn ) een rij in D is met limiet x.
3.9.2 Lineaire functionalen
Zij B een Banachruimte. een lineaire operator u van B in C heet een lineaire functionaal. Een functionaal is dus een functie met als waarden complexe getallen20.
De algemene stellingen over lineaire operatoren gelden uiteraard ook voor het speciale geval van lineaire functionalen. Dus als u : B ⊃ D → C een lineaire functionaal is, dan geldt:
(1) u continu op D ⇔ u begrensd op D ⇔ ∥u∥ begrensd.
(2) u continu op D en D dicht in B ⇒ u eenduidig uit te breiden tot een lineaire
functionaal op B.
We willen nu een overzicht krijgen van alle begrensde lineaire functionalen op een gegeven Ba-
nachruimte. Eerst het geval van Hilbertruimten.
Is H een Hilbertruimte en z ∈ H een willekeurig element, dan is het inproduct wat daarmee gevormd kan worden, u(x) = ⟨x,z⟩, een begrensde lineaire functionaal op H, met norm ∥z∥, want u is lineair, u(x)| ≤ ∥z∥ · ∥x∥, etc.. Omgekeerd geldt:
Stelling 3.9.12 (Stelling van Riesz). Zij u een begrensde lineaire functionaal op een Hil- bertruimte H, dan bestaat er één en precies één element z ∈ H zodat u(x) = ⟨x, z⟩.
Bewijs: Zij G de nulruimte van u, dan is G een lineaire deelruimte van H, alsmede gesloten. Als G = H dan is u de nulafbeelding en dan kunnen we eenvoudig nemen: z = 0. Als G ̸= H dan G⊥ ̸= {0}. Dan nemen we in G⊥ een element x0 met ∥x0∥ = 1. Neem een willekeurig element x∈H,danbestaateengetalα∈Cmetu(x)=αu(x0)∈Comdatx0 ̸=0.Danisu(x−αx0)=0, dus x−αx0 ∈ G. Dus x = αx0 +y, y ∈ G. Inproduct nemen met x0 levert:
⟨x, x0⟩ = α + ⟨y, x0⟩ = α . 20functie = operator = transformatie = afbeelding.