Page 132 - Echte wiskunde

120
P.W. Hemker
3.9 3.9.1
Lineaire operatoren Algemene eigenschappen
Laten B1 en B2 twee Banachruimten zijn. We beschouwen functies T die aan elk punt van een zekere deelverzameling D van B1 een punt van B2 toevoegen. We spreken doorgaans van opera- toren,, transformaties of afbeeldingen van B1 in B2, ofschoon ze slechts op een deelverzameling van B1 gedefinieerd zijn. We noteren dit als T : B1 ⊃ D → B2. In het speciale geval B2 = C dan heet T functionaal.
Definitie 3.9.1 (lineaire afbeelding). Een operator T van B1 in B2, gedefinieerd op D ⊂ B1, heet lineair als geldt: (1) D is een lineaire deelruimte van B1, en
(2)
∀x1,x2∈D,α1,α2∈C T(α1x1 + α2x2) = α1T(x1) + α2T(x2) .
Definitie 3.9.2 (nulruimte, nulafbeelding). De nulruimte, N(T), van een afbeelding T :
D ⊂ B1 → B2 is de deelverzameling van D die op 0 ∈ B2 wordt afgebeeld: N(T)={x|x∈D ∧ T(x)=0}.
De afbeelding T heet de nulafbeelding als N (T ) = D.
Het is duidelijk onder welke voorwaarden T continu zal heten:
Definitie 3.9.3 (continue afbeelding). T is continu in x0 ∈ D als ∀ε>0∃δ>0∀x∈D ∥x−x0∥1 < δ ⇒ ∥Tx−Tx0∥2 < ε ;
T heet continu op D als T continu is in elk punt van D.
Opmerking 3.9.4. Een lineaire afbeelding die continu is in een enkel punt is continu op zijn
gehele definitiegebied.
We geven verder de volgende
Definitie 3.9.5 (begrensde afbeelding). Een afbeelding T : B1 ⊃ D → B2 heet begrensd op D als er een constante C > 0 bestaat, zodat
∀x∈D ∥Tx∥2 ≤ C∥x∥1 . (3.23) Dus voor een lineaire afbeelding T is begrensdheid van T: begrensdheid op de eenheidsbol E,
althans op E ∩ D.
Bestaat er een getal C zodat (3.23) geldt, dan bestaat er ook een kleinste getal C ≥ 0 met deze eigenschap. Immers als (3.23) geldt, dan is zeker ∥T x∥2 ≤ C ∀x ∈ E ∩ D. Als omgekeerd deze bewering geldt, dan geldt ook de algemenere ongelijkheid (3.23), met dezelfde constante C, wegens lineariteit van T . Dit laatste getal is namelijk niets anders dan het supremum van ∥T x∥2 op E ∩ D. We noemen het kleinste getal C ≥ 0 waarvoor (3.23) geldt de norm van T .
Definitie 3.9.6 (norm van een begrensde lineaire afbeelding). De norm, ∥T∥, van een lineaire afbeelding T : D ⊂ B1 → B2 is gedefinieerd door
∥T∥= sup ∥Tx∥2 . x∈D,x̸=0 ∥x∥1