Page 141 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 129
3.9.5 Compacte operatoren in Hilbertruimten
Compacte verzamelingen
Definitie 3.9.29 (compacte verzameling). Een verzameling in een metrische ruimte R heet compact 21 als iedere oneindige deelverzameling tenminste één limietpunt (verdichtingspunt) heeft in R.
Definitie 3.9.30 (relatief compacte verzameling). Een deelverzameling V ⊂ R van een metrische ruimte T heet relatief compact 22 als haar afsluiting in R compact is.
Stelling 3.9.31 (stelling van de politieagenten). Zij R een metrische ruimte en A ⊂ R, dan geldt: als A relatief compact is, dan bestaan er bij elke ε > 0 eindig veel punten x, . . . , xk ∈ R zodat A wordt overdekt door de ε-omgevingen Uε(x1), . . . , Uε(xk).
Is R volledig, dan geldt ook het omgekeerde.
Bewijs: Deze stelling houdt in dat voor een metrische ruimte de begrippen rijtjes-compact en compact equivalent zijn. Dit bewijs hoort thuis in de topologie. Zie daarvoor bijvoorbeeld W.J.Pervin [13].
Opmerking 3.9.32. In de voorwaarde kunnen we ons beperken tot het geval dat de punten x1,...,xk alle tot A behoren. Immers zij ε > 0 en A overdekt door Uε (x1),Uε (x2),...,Uε (xk).
222
Laten we ε/2-bollen weg die geen punt met A gemeen hebben, en kiezen we in de overblijvende bollen punten y1, . . . , yk ∈ A dan wordt A overdekt door Uε(y1), . . . , Uε(yk).
Compacte operatoren
Definitie 3.9.33 (compacte operator). Een lineaire operator K : H → H op een Hil- bertruimte H heet compact als geldt: voor elke begrensde rij (xn) heeft de rij (Kxn) een conver- gente deelrij.
Triviale eigenschappen zijn (met K en T lineaire operatoren op H): (1) Is K compact, dan is K begrensd.
WantalsK nietbegrensdisdanisereenrij(xn)met∥xn∥=1en∥Kxn∥≥n,(n∈N);
de rij (Kxn) heeft dan geen convergente deelrij.
(2) is K compact en T begrensd, dan zijn KT en TK compact.
Immers: als (xn) begrensd, dan is (T xn) begrensd, als (Kxni ) convergent, dan is (T Kxni )
convergent.
We merken op dat de eenheidsoperator in een oneindig-dimensionale Hilbertruimte H begrensd en niet compact is; immers een oneindig orthonormaal stelsel in H is begrensd, maar heeft heen convergente deelrij.
Stelling 3.9.34. Zij K : H → H een lineaire operator op een Hilbertruimte H. Als K begrensd en K∗K compact is, dan is K compact.
Bewijs: Neem een willekeurig begrensde rij (xn). Dan heeft (K∗Kxn) een convergente deel- rij. Door (xn) te vervangen door een geschikte deelrij kunnen we dus bereiken dat (K∗Kxn) convergent is. We hebben dan
∥Kxn − Kxm∥2 = ⟨K(xn − xm),K(xn − xm)⟩ = ⟨K∗K(xn − xm),xn − xm⟩ → 0
21In algemene topologische ruimten heet een verzameling compact als iedere overdekking een eindige deel- overdekking heeft. Een verzameling heet dan rijtjes-compact als iedere oneindige deelverzameling tenminste één limietpunt heeft. Voor metrische ruimten zijn beide definities equivalent
22Meer algemeen: een deelverzameling V van een topologische ruimte X heet relatief compact als haar topolo- gische afsluiting in X compact is.