Page 143 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 131
Bewijs: Volgens Stellig 3.9.20 is Q(x) = ⟨Ax, x⟩ reëel voor alle x.
(1) Voor willekeurige x ∈ H is
|⟨Ax,x⟩|≤∥Ax∥·∥x∥≤∥A∥·∥x∥2 .
Dus voor alle x met ∥x∥ ≤ 1 is |Q(x)| ≤ ∥A∥. Dan geldt ook γ := sup∥x∥≤1 ⟨Ax, x⟩ ≤ ∥A∥.
(2) Zij ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1. Zij verder θ een willekeurig reëel getal en zij y′ = eiθy. Als in
Sectie 3.9.3 hebben we
⟨Ax,y′⟩+⟨Ay′,x⟩ = Q(x+y′)−Q(x−y′) . 2
Nu is |Q(z)| ≤ γ als ∥z∥ ≤ 1. Om homogeniteits-redenen is dan |Q(x + y′)| ≤ γ∥x + y′∥2 en evenzo |Q(x − y′)| ≤ γ∥x − y′∥2. Dus
|⟨Ax, y′⟩ + ⟨Ay′, x⟩| ≤ γ (∥x + y′∥2 + ∥x − y′∥2) = γ (∥x∥2 + ∥y′∥2) 2
Dus |⟨Ax, y′⟩ + ⟨Ay′, x⟩| ≤ 2γ. Nu is ⟨Ax, y′⟩ + ⟨Ay′, x⟩ = e−iθ⟨Ax, y⟩ + eiθ⟨Ay, x⟩. Verder
is ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩ = ⟨Ay, x⟩. Dus de twee sommanden zijn beide gelijk aan |⟨Ax, y⟩| als
we kiezen θ = arg(⟨Ax, y⟩).
Ervolgt|⟨Ax,y⟩|≤γvoorallex,y∈Hmet∥x∥≤1en∥y∥≤1.Kiezenwey= Ax,dan ∥A∥
is ⟨Ax,y⟩ = ∥Ax∥2 . Dus ∥Ax∥2 ≤ γ∥A∥ voor alle x met ∥x∥ ≤ 1. Dus ∥A∥2 ≤ γ∥A∥, ofwel ∥A∥
∥A∥ ≤ γ.
Nu impliceren (1) en (2) de stelling.
Stelling 3.9.43. Elke eigenwaarde van A is reëel.
Bewijs: Zij λ een eigenwaarde en 0 ̸= x ∈ H een element met Ax = λx. Dan is
λ⟨x,x⟩ = ⟨Ax,x⟩ = ⟨x,Ax⟩ = λ⟨x,x⟩
Dus is λ reëel.
Stelling 3.9.44. Zijn x1,x2 eigenvectoren bij twee verschillende eigenwaarden λ1 en λ2. Dan is ⟨x1,x2⟩ = 0.
Bewijs:
λ1⟨x1, x2⟩ = ⟨Ax1, x2⟩ = ⟨x1, Ax2⟩ = λ2⟨x1, x2⟩. Vanwege λ1 ̸= λ2 is dus ⟨x1, x2⟩ = 0.
Stelling 3.9.45. Zij G ⊂ H een lineaire deelruimte en G invariant onder A. (Dwz: AG = G) Dan is ook G⊥ invariant onder A.
Bewijs: Voor een willekeurige x ∈ G is ook Ax ∈ G. Zij nu y ∈ G⊥,
dan ∀x∈G 0 = ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,Ay⟩. Dus is Ay ∈ G⊥. Dus G⊥ is invariant onder A.
Stelling 3.9.46. Zij K een compacte symmetrische lineaire operator op H. Dan heeft K een eigenwaarde λ met |λ| = ∥K∥. Deze eigenwaarde is -absoluut genomen- de grootste eigenwaarde van K.
Bewijs: Dat K geen eigenwaarde λ heeft met |λ| > ∥K∥, volgt uit het feit dat steeds
|λ| ∥x∥ = ∥λx∥ = ∥Kx∥ ≤ ∥K∥·∥x∥.
We bewijzen nu het bestaan van een eigenwaarde λ met |λ| = ∥K∥. We mogen aannemen
dat∥K∥≠ 0.Wehebben∥K∥=sup∥x∥≤1|⟨Kx,x⟩|.Natuurlijkisook∥K∥=sup∥x∥=1|⟨Kx,x⟩| Verder is ⟨Kx,x⟩ steeds reëel (Stelling 3.9.42 en 3.9.20). Er bestaat dus een rij (xn) met
∀n∈N ∥xn∥=1 ⟨Kxn,xn⟩→±∥K∥ voor n→∞ ,