Page 145 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde nu
133
Kz = = =
=
K lim(z0+z1+···+zn) n→∞
lim K(z0 +z1 +···+zn) n→∞
lim (Kz0 +Kz1 +···+Kzn) n→∞
∑∞ k=1
∥(K − KNε )z∥2
= λkzk ≤ k=Nε +1
lim(λ1z1+···+λnzn)= n→∞
λkzk .
De convergentie van de laatste reeks volgt uit de herleiding alsook uit de convergentie van de reeks ∑∥λkzk∥2 die weer berust op de convergentie van ∑∥zk∥2 en de relatie limk→∞ λk = 0. Uit het resultaat volgt direct ivm de realiteit van de getallen λk dat algemeen ⟨Ky,z⟩ = ∑∞k=1 λkzkyk = ⟨y, Kz⟩. Dus K is symmetrisch.
Om te bewijzen dat K compact is nemen we een natuurlijk getal N en definiëren KN door KN z = ∑Nk=1 λk zk . Dan is KN begrensd en van eindige rang:
∑N
∥KNz∥2 = ∥λkzk∥2 ≤C∥z∥2 ,
k=1
met C = sup |λk |2 . Wegens Stelling 3.9.37 is dan KN compact.
Zij nu ε > 0 willekeurig en zij Nε zo gekozen dat k > Nε ⇒ |λk| ≤ ε. Voor willekeurige z is
dan
∑∞ 2 ∑∞
∑∞
≤ ε2·
Dus ∥K − KNε ∥ ≤ ε. Uit Stelling 3.9.40 volgt nu dat K compact is.
Tweede helft: Bij het bewijs van de andere helft van Stelling 3.9.50 moeten we de volgende punten afhandelen, gegeven is dat K een compacte symmetrische lineaire operator op H is.
(1) er is een eigenwaarde
(2) alle eigenwaarden zijn reëel.
(3) eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden staan loodrecht op elkaar.
(4) bij elke eigenwaarde ̸= 0 bestaan er hoogstens eindig veel onafhankelijke eigenvectoren.
(5) als er oneindig veel eigenwaarden zijn dan naderen deze tot 0.
(6) als G het gesloten lineair omhulsel is van alle eigenvectoren behorende bij eigenwaarden ̸= 0, dan is K = 0 op G⊥.
Als K = 0 is de bewering triviaal. We nemen daarom aan dat K ̸= 0. Uit Stelling 3.9.46 volgt dat λ1 met |λ1| = ∥K∥ een eigenwaarde is. Volgens Stelling 3.9.43 is λ1 reëel en volgens Stelling 3.9.47 is H1 de ruimte der eigenvectoren bij λ1 eindig-dimensionaal.
Volgens Stelling 3.9.45 is nu het orthoplement H1⊥ invariant onder K. Zij K1 de restrictie van K tot H1⊥. Dan is K1 een compacte symmetrische operator op H1⊥. Dus, er is een reële eigen- waarde λ2 van K1 met |λ2| = ∥K1∥, met bijbehorende eigenruimte H2. We beperken nu K1 tot (H1 ⊕ H2)⊥ = H1⊥ ∩ H2⊥. Enz.. Er zijn nu twee mogelijkheden:
(a) Het proces breekt af doordat H eindig-dimensionaal is of K = 0 is op (H1 ⊕ · · · ⊕ Hn)⊥ voor
k=Nε +1
∥λkzk∥2 ∥zk∥2≤ε2·∥z∥2
k=Nε +1