Page 21 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 9
Bewijs: Je kunt eenvoudig zien dat het punt C op de middelloodlijn van AB ligt 6 .
Door spiegeling om de middellooodlijn van AB, die ook de bisectrix is van ∠C, valt de figuur op zichzelf. Dus is ∠A = ∠B.
Stelling 1.4.5.
In een driehoek met twee gelijke hoeken zijn de daartegenover gelegen zijden gelijk. Gegeven: △ABC en ∠A = ∠B.
Te bewijzen: AC = BC.
Bewijs:
1.4.2
Door spiegeling om de middelloodlijn valt de figuur op zichzelf. Dus valt ook AC op AB.
CCC
Gelijkzijdige Stelling 1.4.4 driehoek
−→ ←−
Stelling 1.4.5
ABABAB
De gelijkzijdige driehoek
Bepaling 1.4.6. Een driehoek met drie gelijke zijden heet gelijkzijdig.
Vanwege Stelling 1.4.4 zijn dus de drie hoeken gelijk. Deze zijn dan elk 60o. Andersom is ook: in
een driehoek met drie hoeken van 60o zijn de zijden gelijk (vanwege Stelling 1.4.5). 1.4.3 De gelijkbenige rechthoekige driehoek
C
C
ABAB
In een gelijkbenig rechthoekige driehoek zijn de scherpe hoeken elk 45o. 1.4.4 Congruentie van driehoeken
Congruente driehoeken kunnen door verplaatsing in elkaar worden overgevoerd (Bepaling 1.1.22). Als twee driehoeken congruent zijn dan zijn de elementen van de driehoek dus stuk voor stuk gelijk. We noemen elementen die door verplaatsing in elkaar overgaan overeenkomstige elementen.
Stel je eens voor dat C niet op de middellooodlijn ligt, dan krijgen we een situatie waarbij de middelloodlijn een been in een ander punt (D) snijdt. Door de spiegeling om de middelloodlijn weten we AD = BD. Omdat △ABC gelijkbenig
C D
6 is weten we dat AC = BC. Hieruit volgt dat BD + DC = BC. Dat kan niet
waar zijn omdat er maar één kortste weg (rechte lijn) is tussen B en C. De
afstand DC moet dus nul zijn. Dus C ligt op de middelloodlijn. Omdat △ABC
door spiegeling op zichzelf valt is de middelloodlijn van AB ook de bisectrix van AB de top-hoek.