Page 19 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 7 Mogelijkheid (1) is uitgesloten omdat dan (volgens axioma 1.2) door het punt P twee verschillende
lijnen parallel zouden zijn met de lijn l. Als (1) niet waar is, kan alleen (2) waar zijn. 4
Stelling 1.2.5. Als een rechte één van twee evenwijdige lijnen snijdt, dan snijdt hij de andere ook.
Gegeven: m// l en s snijdt l in A.
Te bewijzen: s snijdt m.
Bewijs: Er zijn twee mogelijkheden: (1) s// m, of (2) s snijdt m.
Mogelijkheid (1) is uitgesloten omdat dan (volgens axioma 1.2) door het punt A twee verschillende lijnen parallel zouden zijn met de lijn m.
1.3 Stellingen over evenwijdige lijnen gesneden door een derde
Bepaling 1.3.1. Wanneer twee lijnen gesneden wor- den door een derde zijn er acht hoeken te onderscheiden: A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4 (ziefiguur).
A1 en B1 heten overeenkomstige hoeken,
netalsA2 enB2,ofA3 enB3 ofA4 enB4. A2,A3,B1,B4 heten binnenhoeken.
A1,A4,B2,B3 heten buitenhoeken.
A2 en B4 zijn verwisselende binnenhoeken, net als A3 en B1. A1 en B3 zijn verwisselende buitenhoeken, net als A4 en B2.
2 B 1
3
4 3
Stelling 1.3.2. Bij twee evenwijdige lijnen, gesneden door een derde, zijn twee overeenkomstige hoeken gelijk.
Gegeven: m// l, s snijdt l in A, s snijdt m in B.
Te bewijzen: ∠A1 = ∠B1. −→ 5
Bewijs: Beschouw de verschuiving met verschuivings-vector AB. ( ) Hierbij A → B (gegeven), l → m (ax.1.4), s → s (ax.1.1), ∠A1 → ∠B1, dus ∠A1 = ∠B1.
Gevolg 1.3.3. Uit Stelling 1.3.2 en Stelling 1.2.1 volgt direkt dat verwisselende binnenhoeken gelijk zijn.
Stelling 1.3.4. Als bij twee rechten gesneden door een derde, twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zijn die (eerste) twee rechten evenwijdig.
Gegeven: s snijdt l in A, s snijdt m in B, ∠A3 = ∠B3.
Te bewijzen: m// l.
Bewijs: Beschouw de verplaatsing die ∠A3 → ∠B3 overvoert en de lijn s op zichzelf afbeeldt. Uit ∠A3 → B3 volgt dan l → m en volgens Axioma 1.4 is nu m// l.
4Dit is een bijzonder soort bewijs. Het gaat zó: (1) Eén van twee mogelijkheden moet waar zijn; (2) een van de twee mogelijkheden blijkt niet te kunnen kloppen; (3) dan is dus de andere mogelijkheid waar. Zo’n bewijs heet een bewijs uit het ongerijmde.
5Een vector is een afstand met een richting
2 A
4
1