Page 25 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 13
lijn met wat we uit zijn wiskundige teksten lezen. Een ander verhaal wordt verteld door Stobaeus (Anthologium 2.31.114): “Iemand die juist begonnen was meetkunde te leren vroeg Euclides, toen hij de eerste stelling had leren kennen: ‘Wat zal ik er beter van worden als ik dat leer?’ En Euclides riep zijn knechtje en zei ‘Geef hem een tri-obool zodat-ie iets verdient met wat hij leert.’ ”
Euclides’ beroemdste boek is dus zijn meetkundig werk Elementen. Het boek is een verza- meling van de kennis die bijna 2200 jaar het centrale thema was voor het wiskundeonderwijs. Waarschijnlijk was geen van de resultaten die in de Elementen staan voor het eerst door Euclides bewezen, maar de manier waarop het materiaal gerangschikt is en de wijze van presenteren is zeker van hem.
Omdat bijna iedereen alleen de Elementen van Euclides kent, is het aardig te weten dat hij ook andere boeken geschreven heeft7, onder andere de boeken Optica, Catoptrica (over spiegels), en Phaenomena (over sterrekunde).
Dat Euclides van raadseltjes hield, is duidelijk uit een gedichtje dat ook nog van hem overgeleverd is:
Ἡμίονος καὶ ὄνος φορέουσαι οἶνον ἔβαινον, αὐτὰρ ὄνος στενάχιζεν ἐπ’ ἄχθει φόρτου ἑοῖο. τὴν δὲ βαρυστενάχουσαν ἰδοῦσ’ ἐρέεινεν ἐκείνη· μῆτερ, τί κλαίουσ’ ὀλοφύρεαι ἠύτε κούρη;
εἰ μέτρον ἕν μοι δοίης, διπλάσιον σέθεν ἦρα, εἰ δὲ ἓν ἀντιλάβοις, πάντως ἰσότητα φυλάξεις. εἰπὲ τὸ μέτρον, ἄριστε γεωμετρίης ἐπίιστορ.
Een muildier en een ezel liepen wijn te verslepen
maar de ezel zuchtte onder het gewicht van haar last.
En het muildier dat haar zo zwaar zag klagen vroeg haar: “Moeder wat loop je daar klaaglijk als een meisje te huilen: als je me één maatje geeft draag ik het dubbele van jou, maar als je er ééntje van mij neemt heb je precies evenveel.” Zeg me hoeveel ze droegen, beste wiskunde meester.
1.6 Constructies met passer en lineaal
Een constructie van een meetkundige figuur welke aan bepaalde eisen voldoet, is het opbouwen of tekenen van die figuur. Dit kan alleen in gedachte gebeuren omdat een meetkundige figuur niet tastbaar is. Wij werken toch met potlood, lineaal en passer om ons voorstelligsvermogen een beetje te helpen.
Bij het samenstellen van een figuur nemen we aan dat we (alleen) een paar eenvoudige grondconstructies (ook wel postulaten genoemd) zonder meer kunnen uitvoeren.
Deze grondconstructies zijn:
P1: het nemen van een punt in een figuur.
P2: het construeren van een rechte lijn door twee gegeven punten.
P3: het nemen van een snijpunt van twee snijdende lijnen.
P4: het construeren van een cirkel met een bepaald middelpunt en een bepaalde straal.
Deze postulaten komen er op neer dat we bij de constructies alléén een passer en een lineaal (zonder cm-verdeling) mogen gebruiken. Dit is duidelijk weer een spelletje: hoeveel kun je wel niet doen als je heel weinig (hulp)middelen gebruikt.
Zoals je bij een stelling (i) Gegeven, (ii) Te bewijzen, en (iii) Bewijs hebt, zo deelt men bij de constructie de zaak als volgt in: (i) Gegeven; (ii) Te constueren; (iii) Constructie (met figuur), en (iv) Discussie. De discussie dient om duidelijk te maken dat het doel bereikt is.
7die ook nog zijn overgebleven!