Page 30 - Echte wiskunde

18 P.W. Hemker
1.7.3 De ruit
Aangezien een ruit een parallellogram is gelden alle parallellogramstellingen ook voor een ruit. Stelling 1.7.11. In een ruit zijn alle zijden gelijk.
Bewijs: Dit volgt direkt uit de definitie van een ruit en Stelling 1.7.6.
Kun je op dezelfde manier, met logisch redeneren ook de vijf ruitstellingen hieronder bewijzen?
11
Stelling 1.7.12. In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen de hoeken door- midden.
Stelling 1.7.13. Een parallellogram waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan is een ruit.
Stelling 1.7.14. Een parallellogram waarin een diagonaal een hoek halveert is een ruit. Stelling 1.7.15. De middens van de zijden van een rechthoek zijn de hoekpunten van een ruit. Stelling 1.7.16. De middens van de zijden van een ruit zijn de hoekpunten van een rechthoek.
De rechthoek
1.7.4 De rechthoek
Ook de twee onderstaande stellingen over een rechthoek zijn niet zo moeilijk te bewijzen.12 Stelling 1.7.17. In een rechthoek zijn de diagonalen gelijk.
Stelling 1.7.18. Als in een parallelogram de diagonalen gelijk zijn, dan is dit parallelogram een rechthoek.
Het vierkant
Stelling 1.7.19. De middens van de zijden van een vierkant zijn de hoekpunten van een vierkant.
11Hint stelling 1.7.12: de vier driehoeken die de diagonalen uit het parallellogram snijden zijn congruent. Hint stelling 1.7.13: volgens stelling 1.7.7 halveren de diagonalen elkaar. Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan zijn de vier driehoeken die de diagonalen uit het parallellogram snijden congruent. Daarom zijn de zijden van het parallellogram aan elkaar gelijk. Hint stelling 1.7.14: spiegel om een diagonaal. Hint stelling 1.7.15: spiegel om de middelloodlijn van een zijde. Hint stelling 1.7.16: laat zien dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan en gevruik Stelling 1.7.13.
12Hint stelling 1.7.17: gebruik stelling 1.4.9. Hint stelling 1.7.18: de twee diagonalen maken twee congruente driehoeken (stelling 1.4.10). Hint stelling 1.7.19: combineer stelling 1.7.17 en stelling 1.7.18.