Page 42 - Echte wiskunde

30 P.W. Hemker
Bewijs: Verplaats △A′B′C′ zodanig dat ∠B′A′C′ op ∠BAC valt (dat kan want beide hoeken zijn even groot). Nu zien we dat de lijnen B′C′ en BC evenwijdig zijn (Stelling 1.3.4). We zien nu eenvoudig dat A het vermenigvuldigingscentrum is waardoor △A′B′C′ productfiguur is van △ABC.
Stelling 1.9.18 (ZHZ). Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paar zijden een evenredig- heid vormen terwijl hun ingesloten hoeken gelijk zijn.
Gegeven: △ABC, △A′B′C′, ∠B′A′C′ = ∠BAC, A′B′ : AB = A′C′ : AC.
Te bewijzen: △ABC ∼ △A′B′C′
Bewijs: Het bewijs is analoog aan het bewijs van Stelling 1.9.17.
Stelling 1.9.19 (ZZH). Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paar zijden een evenredig- heid vormen als de hoeken tegenover het ene paar gelijk zijn en de hoeken tegenover het andere paar van dezelfde soort zijn
Gegeven: △ABC, △A′B′C′, ∠B′A′C′ = ∠BAC, A′B′ : AB = B′C′ : BC.
Te bewijzen: △ABC ∼ △A′B′C′
Bewijs: Het bewijs is analoog aan het bewijs van Stelling 1.9.17.
Stelling 1.9.20 (ZZZ). Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de drie zijden een aaneengescha- kelde evenredigheid vormen.
Gegeven: △ABC, △A′B′C′, A′B′ : AB = A′C′ : AC = B′C′ : BC.
Te bewijzen: △ABC ∼ △A′B′C′
Bewijs: Hint: Maak het productfiguur △A′′B′′C′′ door △ABC te vermenigvuldigen met vermenigvuldigingscentrum A en vermenigvuldigingsfactor A′B′ en laat zien dat △A′′B′′C′′ ∼=
AB
△A′B′C′.
1.10 Bijzondere lijnstukken in de driehoek
We spreken steeds over driehoek △ABC. De zijde tegenover ∠A noemen we a, enzovoort. We geven de bisectrix van ∠A aan met da. Evenzo db en dc. We geven de hoogtelijn uit A aan met ha. Evenzo hb en hc. We geven de zwaartelijn uit A aan met za. Evenzo zb en zc. We noemen de middelloodlijn van de zijde BC ma. Evenzo mb en mc.
1.10.1 Concurrentie van bijzondere lijnstukken
Stelling 1.10.1. De drie deellijnen van een driehoek gaan door één punt. 21
Gevolg 1.10.2. Het snijpunt van de deellijnen heeft gelijke afstand tot de drie zijden van de
driehoek: het is het middelpunt van de “ingeschreven cirkel”’.
Stelling 1.10.3. De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt. 22
Gevolg 1.10.4. Het snijpunt van de middelloodlijnen heeft gelijke afstand tot de drie hoekpun- ten van de driehoek: het is het middelpunt van de “omgeschreven cirkel”’.
21Hint voor bewijs: de deellijn is de MP van punten met gelijke afstanden tot twee lijnen.
22Hint voor bewijs: de middelloodlijn van een lijnstuk is de MP van punten met gelijke afstand tot de eindpunten.