Page 41 - Echte wiskunde
P. 41
Echte Wiskunde 29
Stelling 1.9.11. De productfiguur van een lijnstuk AB bij vermenigvuldiging met een factor f (f ̸= 0 en f ̸= 1) ten opzichte van een punt O buiten AB, is een lijnstuk A′B′, evenwijdig met AB, en A′B′ = |f| AB.
Bewijs: Volgens Stelling 1.9.10 is de produktfiguur een lijnstuk A′B′ met A′B′//AB. En verder is A′B′ : AB = A′O : AO = |f| vanwege Gevolg 1.9.7.
De volgende drie stellingen zijn ook gemakkelijk te bewijzen. 20
Stelling 1.9.12. De productfiguur van een hoek bij vermenigvuldiging met een factor f (f ̸= 0
en f ̸= 1) ten opzichte van een punt O is een hoek gelijk aan de eerste. Stelling 1.9.13. De productfiguur van een cirkel is weer een cirkel.
Stelling 1.9.14. Als F′ productfuguur is van F bij vermenigvuldiging met f ten opzichte van O, dan is F productfiguur is van F′ bij vermenigvuldiging met 1/f ten opzichte van O.
Bepaling 1.9.15. Elementen van een figuur die bij vermenigvuldiging in elkaar overgaan heten gelijkstandig
1.9.3 Gelijkvormigheid
We kennen nu twee vormen van meetkundige transformaties: 1. verplaatsing (verschuiving, draaiing, spiegeling),
2. vermenigvuldiging.
We noemen twee figuren die door verplaatsing in elkaar kunnen worden overgevoerd congruent. Twee figuren die door vermenigvuldiging in elkaar kunnen worden overgevoerd heten gelijkstan- dig.
Gelijkstandige figuren
=⇒
Twee figuren die door achtereenvolgende verplaatsingen en vermenigvuldigingen in elkaar over- gevoerd kunnen worden heten gelijkvormig. (Bepaling 1.9.1.)
Opmerking 1.9.16. Uit het voorafgaande volgt: bij twee gelijkvormige figuren zijn overeen- komstige hoeken gelijk en hebben overeenkomstige lijnstukken een vaste verhouding.
Vaak moeten we bewijzen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn. Daarvoor kunnen we vier gelijkvormigheidsgevallen herkennen.
Stelling 1.9.17 (HH). Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee hoeken gelijk hebben. Gegeven: △ABC, △A′B′C′, ∠B′A′C′ = ∠BAC, ∠A′B′C′ = ∠ABC.
Te bewijzen: △ABC ∼ △A′B′C′
20Hint Stelling 1.9.12: gebruik Stelling 1.9.10. Hint Stelling 1.9.13: pas Stelling 1.9.11 toe op de straal van de cirkel.