Page 71 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 59
Figuur 2.1: Een niet injectieve (links) en een niet surjectieve (rechts) afbeelding.
a(meta∈A)wordttoegevoegd,danschijvenweookwelb=f(a)ofookwelf :a →b.We noemen b het beeld van a.
Een afbeelding f : A → B is gelijk aan de afbeelding g : C → D wanneer: (i) A = C, èn (ii) B = D, èn (iii) f(a) = g(a) voor alle a ∈ A. Slordig spreekt men vaak van de afbeelding f ipv f : A → B. Functie is voor ons synoniem met afbeelding.
Het beeld van een (deel)verzameling
Isf:A→BenA0 ⊂AdangevenwehetbeeldvanA0 aanmetf(A0):={f(x)|x∈A0}.Er geldt dus f(A0) ⊂ B.
Injectie
de afbeelding f : A → B heet injectief (of één-éénduidig, of ook wel een injectie) als voor alle x,y ∈ A geldt dat uit f(x) = f(y) volgt x = y. In formule
f:A→Biseeninjectie := ∀x,y∈A f(x)=f(y) ⇒ x=y.
Surjectie
de afbeelding f : A → B heet surjectief (of een surjectie) en we zeggen: f beeldt A op B af, als f(A) = B . In formule
f:A→Biseensurjectie := ∀b∈B ∃a∈A f(a)=b.
Bijectie
de afbeelding f : A → B heet bijectief (of een bijectie) als f zowel een injectie als een surjectie is. In formule
f : A → B is een bijectie := ∀b∈B∃!a∈A f(a) = b. Een bijectie wordt ook wel een éénéénduidige afbeelding genoemd.
Inverse afbeelding
Als de afbeelding f : A → B een bijectie is, dan heet de afbeelding f−1 : B → A die gedefinieerd wordt door f−1(b) = a ⇔ f(a) = b de inverse van f.
We merken op dat voor een surjectie f : A → B gegarandeerd is dat voor elke b ∈ B er een