Page 70 - Echte wiskunde

58 P.W. Hemker
Op grond van deze axioma’s kunnen, nadat optelling, vermenigvuldiging, ongelijkheden, etc. zijn gedefiniëerd, alle bekende eigenschappen van de natuurlijke getallen worden afgeleid [10, 15]. Dan blijkt ook dat voor alle n ∈ N geldt volgt(n) = n + 1.
Volledige inductie
Op de in Axioma B nummer 3 uitgedrukte eigenschap (en ook op de formule volgt(n) = n + 1) berust de bewijsmethode der volledige inductie. Dit is een methode om een formule van het type ∀k∈NB(k) te bewijzen. De methode bestaat uit twee stappen:
1. Men bewijst B(1).
2. Men bewijst ∀k∈N B(k) ⇒ B(k + 1). D.w.z.: uit de onderstelling dat B(k) juist is, leidt men af dat B(k + 1) juist is. Hiermee is B(k) voor alle k ∈ N bewezen.4
Opmerking: In gewone taal is het vaak veilig twee verschillende letters (k en n) te gebruiken. Je kan dan volledige inductie formuleren als: “Is B(k) juist voor k = n, dan is B(k) juist voor k = n + 1”. Je moet oppassen voor onzin zoals: “Is B(n) juist voor n, dan is B(n) juist voor n+1” of: “dan is B(n) juist voor n = n+1”.
Voorbeeld 2.4.1. Te bewijzen, dat voor elke k ∈ N geldt:
13 +23 +33 +···+k3 = 1k2(k+1)2.
4
Bewijs: Voor k = 1 is de formule juist. Nu de inductiestap: We moeten bewijzen, dat voor elke
n ∈ N geldt:
13 +23 +···+n3 = 1n2(n+1)2 ⇒13 +23 +···+(n+1)3 = 1(n+1)2(n+2)2.
We moeten dus bewijzen
44
1n2(n+1)2 +(n+1)3 = 1(n+1)2(n+2)2. 44
wat we eenvoudig kunnen laten zien.
Opmerking 2.4.2. De merkwaardige situatie doet zich vaak voor, dat een sterkere bewering
gemakkelijker door inductie is te bewijzen dan een zwakkere. Zo is bijv. de uitspraak dat voor alle
n ∈ N de som 13 +23 +33 +· · ·+n3 het kwadraat van een geheel getal is, een juiste bewering, want
in het voorbeeld hierboven hebben we een sterkere bewering bewezen: het is het kwadraat van
1 n(n + 1). Voor de zwakkere stelling mislukt het inductiebewijs echter. Uit “13 + 23 + 33 + · · · + n3 2
is een kwadraat” volgt niet op eenvoudige, wijze “13 + 23 + 33 + · · · + (n + 1)3 is een kwadraat”. Jammer genoeg is de uitspraak “een kwadraat +(n + 1)3 is weer een kwadraat” onjuist. Vaak is het een grote kunst om voor een bepaald doel een inductief bewijsbare bewering op te stellen.
2.5 Afbeeldingen
Een afbeelding of een functie f van A naar B (de notatie is f : A → B) is een voorschrift waardoor aan elk element van A precies één element van B wordt toegevoegd. Als b (waarvoor b ∈ B) aan
4Want als we de verzameling getallen beschouwen waarvoor B(k) waar is:
V ={k|(k∈N)∧B(k)},danis1∈V en∀k [k∈V ⇒volgt(k)∈V],zodatV =N.DerhalvegeldtB(k)voor alle k ∈ N.