Page 95 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 83
Waarom die strengheid?
De eis naar strengheid wordt opgelegd door het verlangen om correcte conclusies af te leiden. Wiskundige beweringen dienen correct uit axioma’s en definities afgeleid te zijn. Een huis met een foutje kan nog heel goed bewoonbaar zijn, maar een bewijs met een foutje is helemaal geen bewijs. De beginneling verwondert zich er altijd over, dat in de beginselen van de analyse zoveel moeilijke bewijzen voorkomen van zaken die wel bijna vanzelf schijnen te spreken. Dat komt doordat het begrip reëel getal enerzijds zo gecompliceerd is, en anderzijds zoveel voorstellingen uit onze aanschouwingswereld oproept waarmee we al lang vertrouwd zijn. Je moet bedenken dat aan “bijna vanzelf spreken” geen enkele bewijskracht toekomt: een bijna-bewijs is helemaal geen bewijs.
Je kunt je troosten met de gedachte, dat het vóór ’Cauchy nog veel moeilijker was om de analyse te leren. De spelregels waren toen in elk geval minder duidelijk.
De stelling van Gödel
Ondanks de verwoede pogingen van 20ste-eeuwse wiskundigen om prachtige consistente bouw- werken van wiskunde op te stellen –waarbij Hilbert en Bourbaki tot de kampioenen gerekend moeten worden– is het goed te bedenken dat dit streven nooit tot een definitieve afsluiting zal komen.
Zeer tot teleurstelling van Hilbert, kon Gödel (1906-1978) in 1930 bewijzen: Elke consistente formele wiskunde moet noodzakelijkerwijs onbewijsbare beweringen bevatten. Het is dus onmogelijk om een volledige en consistente theorie voor de gehele wiskunde op te stellen.
Hoewel Bourbaki van dit resultaat op de hoogte was, heeft hij zich er nooit iets van aange- trokken.