Page 97 - Echte wiskunde

Hoofdstuk 3 Lineaire analyse
Voor dit hoofdstuk is gebruik gemaakt van het collegediktaat 1967 van prof. C.G. Lekkerker- ker voor een college aan de Universiteit van Amsterdam. In het diktaat wordt voor literatuur verwezen naar [4, 7, 11]
3.1 Metrische ruimten
Definitie 3.1.1 (metrische ruimte). Een metrische ruimte is een verzameling R, tezamen met een reële functie ρ : R × R → R, zodanig dat:
(i) ρ(x,y) ≥ 0 voor alle x,y ∈ R,
(ii) ρ(x,y)=0danenalleendanalsx=y,
(iii) ρ(x, y) = ρ(y, x) voor alle x, y ∈ R (symmetrie),
(iv) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) voor alle x, y, z ∈ R (driehoeksongelijkheid).
De elementen x, y, z, . . . ∈ R heten ook punten. Bij gegeven x en y heet ρ(x, y) de afstand van x en y. De functie ρ heet een metriek.
Uit (iv) volgt ρ(x, y) ≥ ρ(x, z)−ρ(y, z). Verwisseling van x en y geeft ρ(y, x) ≥ ρ(y, z)−ρ(x, z). Vanwege de symmetrie hebben we dan
|ρ(y,z) − ρ(x,z)| ≤ ρ(x,y).
Voorbeeld 3.1.2. De k-dimensionale Euclidische ruimte Rk, met k ∈ N, waarin de afstand
tussen twee punten x = (x1,x2,...,xk) en y = (y1,y2,...,yk) gegeven wordt door √
ρ(x,y)= (x1 −y1)2 +···+(xk −yk)2.
Voorbeeld 3.1.3. De verzameling R der reële functies x = x(t), gedefinieerd en continu op een
gegeven segment [a, b], met
Voorbeeld 3.1.4. Dezelfde verzameling R, maar nu met de metriek
∫b a
ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)| . a≤t≤b
ρ(x, y) =
|x(t) − y(t)| dt . 85