Page 99 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 87 Definitie 3.1.10 (limietpunt). Een punt a ∈ R heet limietpunt van een rij (an)n=1,2,··· in R
als bij elke ε > 0 oneindig veel indices n1,n2,..., bestaan zodat ρ(ank,a) < ε voor k = 1,2,.... In een compacte metrische ruimte heeft elke rij tenminste één limietput en heeft ook elke rij
een convergente deelrij.
Definitie 3.1.11 (fundamentaalrij). Een rij (an)n=1,2,··· in R heet een fundamentaalrij, of
ook wel Cauchy-rij, als geldt:
∀ε>0∃n0∈N∀n,m∈N n, m > n0 ⇒ ρ(an, am) < ε .
Definitie 3.1.12 (volledige metrische ruimte). Als iedere fundamentaalrij in R convergent is in R, dan heet R volledig.
Stelling 3.1.13. Een compacte metrische ruimte is volledig.
Bewijs: Zij R en compacte metrische ruimte met metriek ρ, en zij (an) een fundamentaalrij in R. Zij ε > 0 willekeurig. Omdat (an) een fundamentaalrij is, bestaat er een index n0 zodat ρ(an,am) < ε/2 voor n,m > n0. Omdat R compact is, heeft verder (an) een limietpunt a ∈ R. Dan bestaat een index n > n0 met ρ(am,a) < ε/2. Dan is ρ(an,a) < ε voor n > n0. Dus de rij (an) convergeert naar a.
We onderzoeken de eerder gegeven voorbeelden op volledigheid.
Voorbeeld 3.1.14. (Zie voorbeeld 3.1.2.) De ruimte Rk met de gewone metriek, is volledig. Dit
volgt uit de volledigheid van R en de eindigheid van k.
Voorbeeld 3.1.15. (Zie voorbeeld 3.1.3.) Zij (xn) een fundamentaalrij, in de gegeven metriek.
Dan is voor een willekeurig gekozen ε > 0 er een bijpassende index n0 te vinden zodat max |xn(t) − xm(t)| < ε voor alle n, m > n0 ,
ofwel
a≤t≤b
∀ε>0∃n0∈N∀t∈[a,b] n, m > n0 ⇒ |xn(t) − xm(t)| < ε . (3.1)
D.w.z. de rij (xn) voldoet op [a,b] aan de uniforme Cauchy-voorwaarde4. Uit bekende stellingen over rijen van functies volgt nu (zie bijvoorbeeld [9].) :
(1.) de rij functies xn = xn (t) convergeert uniform op [a, b] naar een functie x = x(t) op [a, b]. (2.) mèt de functies xn is ook de functie x continu op [a, b].
Het resultaat (1.) zegt dat, voor willekeurige ε > 0 en bijpassende index nε max |xn(t)−x(t)| < ε voor alle n > nε ,
a≤t≤b
Het resultaat (2.) zegt dat x tot de beschouwde metrische ruimte behoort. Hiermee is bewezen
dat R volledig is.
Voorbeeld 3.1.16. (Zie voorbeeld 3.1.4.) In dit geval is R niet volledig. Men neme a = 0 en
b = 2 en beschouwe de rij functies xn waarvan de grafiek er als volgt uitziet:
4Merk op dat deze uniforme convergentie (3.1) verschilt van (een sterkere eis is dan) puntsgewijze convergentie: ∀ε>0∀t∈[a,b]∃n0∈N n, m > n0 ⇒ |xn(t) − xm(t)| < ε . (3.2)