Page 101 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 89
(2.) deze limiet hangt niet af van de keuze van (an) en (bn) in A resp. B, (3.) ρ is een metriek op S.
(1.) We hebben dus
ρ(an, bn) ≤ ρ(an, am) + ρ(am, bm) + ρ(bm, bn) ρ(an, bn) − ρ(am, bm) ≤ ρ(an, am) + ρ(bm, bn) .
Met dezelfde formule met n en m verwisseld, vinden we
|ρ(an, bn) − ρ(am, bm)| ≤ ρ(an, am) + ρ(bm, bn) .
Omdat het rechterlid tot 0 nadert voor n,m → ∞, volgt dat de rij der getallen (ρ(an,bn)) een fundamentaalrij is en dus convergeert.
(2.) Zij (an) ∼ (a′n). Dan is
|ρ(an,bn) − ρ(a′n,bn)| ≤ ρ(an,a′n) → 0 (n → ∞).
Dus limn→∞ ρ(an, bn) = limn→∞ ρ(a′n, bn). Evenzo bij vervanging van (bn) door een equivalente rij.
(3.) Het is triviaal dat steeds ρ(A,B) ≥ 0 en dat ρ(A,A) = 0. Is ρ(A,B) = 0, dan is limn→∞ ρ(an,bn) = 0 en dus (an) ∼ (bn), dus A = B.
Vervolgens is ρ(A, B) = ρ(B, A). Zijn A, B, C drie equivalentieklassen en (an), (bn) en (cn) rijen daaruit, dan hebben we
en dus (limietovergang)
ρ(an, cn) ≤ ρ(an, bn) + ρ(bn, cn) ρ(A, C) ≤ ρ(A, B) + ρ(B, C) .
Hiermee zijn (1.), (2.) en (3.) bewezen.
Een constante rij (a, a, a, . . .), a ∈ R is zeker een fundamentaalrij. Laten we equivalentieklasse
die de rij bevat aangeven met a˜ en de collectie der klassen a˜ met S0. uit onze definities volgt dat
ρ(a˜, ˜b) ≤ ρ(a, b) . (3.4)
De afbeelding a → a˜ is dus een isometrie5, en wel van R op So ⊂ S. I.h.b. is deze afbeelding eenduidig. Krachtens (3.4) is het niet bezwaarlijk de op S ingevoerde metriek óók met ρ aan te geven.)
We bewijzen tenslotte dat S0 dicht light in S en dat S volledig is. Zij allereerst A een willekeurige klasse in S en zij (a˜n) een fundamentaalrij uit deze klasse. Bij vaste n is a˜n een klasse in S0 en er geldt
Dus
ρ(A,a˜n)= lim ρ(ak,a˜n). k→∞
∀ε>0 ∃nε∈N n > nε ⇒ ρ(A,a˜n) ≤ ε.
Dus A wordt willekeurig dicht benaderd door elementen in S0. Tevens is A limiet van de rij (a˜n).
Zij vervolgens (An) een fundamentaalrij in S. Voor elke n is er wegens het vorige een element
bn ∈ R met
ρ ( A n , ˜b n ) < 1 . n
5Een isometrie is een afbeelding tussen twee metrische ruimten die de afstanden bewaart. Dwz f : R1 → R2 is een isometrie als ∀x,y∈R1 ρ1(x, y) = ρ2(f(x), f(y)), waarin ρ1 en ρ2 de metrieken in R1 resp. R2 aangeven.