Page 100 - Echte wiskunde

88
P.W. Hemker
x 1
0 11+12 x n
Er is geen continue limietfunctie x, in de beschouwde metriek. Voor x zou namelijk moe-
ten gelden
{1 voor t<1, x(t)= 0 voor t>1.
We laten nu zien dat elke metrische ruimte ingebed kan worden in een metrische ruimte die volledig is. En wel bewijzen we
Stelling 3.1.17 (completering van een metrische ruimte). Bij een metrische ruimte R met metriek ρ, bestaat steeds een metrische ruimte S met de volgende eigenschappen:
(1.) S is volledig,
(2.) R is een deelruimte van S met zezelfde metriek (dwz de metriek van R is de restrictie tot R van de metriek op S ),
(3.) R ligt dicht in S.
Opmerking 3.1.18. Een dergelijke constructie zijn komen we ook tegen bij de invoering van de reële getallen. In het bijzonder zal de constructie van S analoog zijn aan de invoering van de reële getallen d.m.v. fundamentaalrijen van rationale getallen.
Bewijs: In het volgende geven we fundamentaalrijen {an}, {a′n}, {bn}, ... in R kort aan met α, α′, β, . . .. We noemen twee fundamentaalrijen α en α′ equivalent en schrijven α ∼ α′, als geldt:
ρ(an,a′n) → 0 voor n → ∞.
Deze relatie is een equivalentierelatie:
1: α ∼ α′ (triviaal),
2: als α ∼ β dan β ∼ α (triviaal),
3: als α ∼ β en β ∼ γ dan α ∼ γ, omdat
en dus
ρ(an, cn) ≤ ρ(an, bn) + ρ(bn, cn)
ρ(an,cn) → 0 als ρ(an,bn) → 0 en ρ(bn,cn) → 0 voor n → ∞.
Dientengevolge valt de verzameling der fundamentaalrijen in R uiteen in twee aan twee disjuncte klassen van equivalente fundamentaalrijen. We geven deze klassen aan met A, B, . . ..
Zij nu S de collectie der klassen A, B, . . .. Stel
ρ(A, B) = lim ρ(an, bn) , n→∞
waarbij (an) een fundamentaalrij uit klasse A en (bn) een fundamentaalrij uit klasse B is. We tonen aan:
(1.) de limiet in (3.3) bestaat en is eindig,
(3.3)