Page 102 - Echte wiskunde

90 P.W. Hemker
Mèt (An) is ook (˜bn) een fundamentaalrij in S. Dan is (bn) een fundamentaalrij in R. De equiva- lentieklasse die deze rij bevat is limiet van de rij (˜bn), en dus van de rij (An). Daarmee is bewezen dat S volledig is.
Vervangen we nog S0 door R, dan gelden voor S de beweringen van de stelling
Opmerking 3.1.19. Zij eens S1 een tweede metrische ruimte die aan de eisen van de stelling voldoet en zij α een willekeurig element van S1. Dan is α te krijgen als de limiet van een rij punten an ∈ R. Dat is een fundamentaalrij in R en bepaalt dus een element A ∈ S. Men gaat gemakkelijk na dat de toevoeging α → A een isometrie van S1 op S is. Hiermee is gevonden: de ruimte S uit Stelling 3.1.17 is op isometrie na eenduidig bepaald. We noemen deze ruimte het volledig omhulsel van R en geven hem aan met R .
Opmerking 3.1.20. Een gesloten deelruimte R1 van een volledige metrische ruimte R is weer volledig. Immers een fundamentaalrij in R1 is ook een fundamentaalrij in R en dus convergent in R, en de limiet behoort tot R1.
3.2 Lineaire ruimten
Definitie 3.2.1 (lineaire ruimte). Een lineaire ruimte is een verzameling R met elementen x,y,z,..., waarin een optelling en een vermenigvuldiging met complexe getallen α,β,,... gedefinieerd is, zodanig dat geldt:
(i) R is een commutatieve groep t.a.v. de optelling,
∀x,y,z ∈R ∃0∈R ∀x∈R ∀x∈R ∃(−x)∈R ∀x,y∈R
(x+y)+z= x+(y+z) 0+x =x
x+(−x) =0
x+y =y+x
associativiteit
er bestaat een nulelement oplosbaarheid x + w = y commutativiteit
distributiviteit distributiviteit associativiteit 1∈C
(ii) R kent een scalaire vermenigvuldiging
∀x,y∈R,α∈C ∀x∈R,α,β∈C ∀x∈R, α,β∈C ∀x∈R
α(x+y) = αx+αy, (α+β)x = αx+βx,
α(βx) = (αβ)x, 1x =x,
De elementen uit R heten ook punten of vectoren.
Opmerking 3.2.2. Enkele directe consequenties van de definitie zijn:
i) We kunnen vectoren aftrekken:
αx − βx = (α − β)x . ii) Er bestaat een nul-vector 0: (let op: 0 ∈ C!)
0.x = (1−1).x = 1.x−1.x = 0.
Wanneer geen verwarring mogelijk is noteren we 0 ∈ R ook wel als 0 ∈ R.
Opmerking 3.2.3. We kunnen de lineaire ruime ook definiëren voor de reële getallen ipv voor de complexe getallen: we vervangen eenvoudig C door R. We spreken dan van een reële lineaire ruimte.
Definitie 3.2.4 (lineair onafhankelijke vectoren). Een aantal elementen x1 , x2 , ..., xk heet lineair onafhankelijk wanneer
α1x1 +···+αkxk =0 ⇒ α1 =...=αk =0.