Page 104 - Echte wiskunde

92 P.W. Hemker geldt
C1 min |αi|≤∥x∥≤C2 max |αi|. (3.5) i=1,...,k i=1,...,k
We zeggen ook wel dat de norm, op een constante na, kan worden afgeschat door de minimale en maximale coefficient.
Bewijs: De vorm ∥α1x1 +···+αkxk∥ is een continue functie van de coefficienten {α1,...,αk} ∈ Ck. Immers
≤ ≤
≤
|∥α1x1 + ··· + αkxk∥ − ∥α ̄1x1 + ··· + α ̄kxk∥| ∥(α1 − α ̄1)x1 + ··· + (αk − α ̄k)xk∥
∥(α1 − α ̄1)x1∥ + ··· + ∥(αk − α ̄k)xk∥ ()
∥x1∥+···+∥xk∥ max (αi −α ̄i) i=1,...,k
Als x ̸= 0 dan mini=1,...,k |αi| = m(x) > 0 en maxi=1,...,k |αi| = M(x) > 0. Op de compacte verzameling (kubusrand) maxi=1,...,k |αi | = 1 neemt de continue functie ∥x(α1 , . . . , αk )∥ dus een positief maximum (C2) en minimum (C1) aan. Wegens homogeniteisoverwegingen geldt dus ook (3.5).
Opmerking 3.3.5. We merken op dat voor R een lineaire ruimte van dimensie k met basis {x1, . . . , xk} een norm wordt gedefinieerd door
∥x∥=∥α1x1 +···+αkxk∥:= max |ai|. i=1,...,k
Stelling 3.4.3 zegt eigenlijk dat een willekeurige norm met deze norm “equivalent” is in de zin van de volgende definitie.
Definitie 3.3.6. Twee normen ∥ · ∥ en ∥ · ∥′ op een lineaire ruimte R heten equivalent als er twee positieve constanten C1 en C2 bestaan zodat
C1 ∥x∥≤∥x∥′ ≤C2 ∥x∥ ∀x∈R.
Gevolg 3.3.7. Uit Stelling 3.4.3 volgt direct dat elk tweetal normen op een eindig-dimensionale
lineaire ruimte equivalent is.
Opmerking 3.3.8. Voor lineaire ruimten met oneindige dimensie kunnen normen wel degelijk niet-equivalent zijn!
Stelling 3.3.9. Zijn ∥ · ∥ en ∥ · ∥′ twee equivalente normen op een lineaire ruimte R (van eindige of van oneindige dimensie) en is R volledig in de eerste norm, dan is hij dat ook in de tweede. Bewijs: Is (x(n) een fundamentaalrij in de eerste norm, dan is hij dat ook in de tweede norm; uit convergentie in de eerste norm volgt dan ook convergentie in de tweede norm.
3.4 Banachruimten
Definitie 3.4.1 (Banachruimte). Een genormeerde lineaire ruimte heet Banachruimte als R volledig is in de metriek ρ(x, y) = ∥x − y∥.
Dit betekent dus dat voor elke rij (xn) in R met de eigenschap ∥xn−xm∥→0 voorn,m→∞
er een element x ∈ R bestaat met de eigenschap dat ∥xn−x∥→0 voorn→∞.