Page 105 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 93 Opmerking 3.4.2. In een Banachruimte B, met norm ∥ · ∥, kunnen we reeksen beschouwen.
Onder de reeks ∑an verstaan we hierbij de rij van partiële sommen sn = ∑k=n ak. Convergeert
de rij (sn)n=1,2,··· naar een element s ∈ B, dan heet de reeks
van de reeks. Deze som wordt aangegeven met ∑∞ an of, als er geen verwarring mogelijk is,
met ∑an. k=1
Een nodig en voldoende voorwaarde voor convergentie van de reeks ∑an is de Cauchy-
voorwaarde: dat voor willekeurige ε > 0 er een nε ∈ N bestaat zodat
k=m+1
Aan deze eis is zeker voldaan als ∑∥an∥ convergeert, dwz als de reeks absoluut convergeert.
Een genormeerde lineaire ruimte kunnen we (net als iedere metrische ruimte) completeren tot een Banachruimte.
Stelling 3.4.3. Zij R een genormeerde lineaire ruimte, met norm ∥ · ∥, en zij R˜ het volledig omhulsel van R als metrische ruimte. Stel
x+y = lim(xn+yn), n→∞
αx = limαxn, n→∞
∥x∥ = lim ∥xn∥, n→∞
waarin α ∈ C, x,y ∈ R en (xn) en (yn) bijbehorende fundamentaalrijen in R. Dan is R˜ een Banachruimte.
Bewijs: De limieten van de rechterleden bestaan omdat (xn + yn) en (αxn) fundamentaalrijen in R zijn en (∥xn∥) een fundamentaalrij van getallen is, omdat
∥xn∥ − ∥xm∥ ≤ ∥xn − xm∥ .
De metriek ρ is ook de metriek behorende bij de ingevoerde norm:
ρ(x,y) = lim ρ(xn,yn) = lim ∥xn −yn∥ = ∥x−y∥ n→∞ n→∞
Het is nu eenvoudig in te zien dat door R˜ aan alle eisen voor een Banachruimte is voldaan.
Stelling 3.4.4. Een eindig-dimensionale genormeerde lineaire ruimte is altijd volledig en dus een Banachruimte.
Bewijs: De eindig-dimensionale genormeerde lineaire ruimte erft de volledigheids-eigenschap van de scalairen. We zien dit als volgt.
Zij R een genormeerde lineaire ruimte van eindige dimensie k, met een basis {x1,...,xk}. We nemen een willekeurige fundamentaalrij (x(n)) in R en schrijven
x(n) = α(n)x + ··· + α(n)x (n = 1,2,...). 11 kk
We passen nu Stelling 3.4.3 toe op de elementen
x(n) − x(m) = (α(n) − α(m))x + ··· + (α(n) − α(m))x 111 kkk
dan vinden we eerst dat (α(n)), ..., (α(n)) fundamentaalrijen zijn in C en dus convergeren, en 1k
vervolgens dat de rij (x(n)) convergeert. Daarmee is bewezen dat R volledig is.
∑
n > m > nε ⇒ ak < ε .
k=n
∑ k=1
an convergent en heet s de som