Page 107 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 95 Men gaat hiervoor ook gemakkelijk na dat dit een norm is. We bewijzen de volledigheid.
Bewijs: Voor een willekeurige rij x = (x1, x2, . . .) ∈ l1 schrijven we ∑k
|xi| voor k = 1,2,... .
Er geldt dan Sk(x) ≤ ∥x∥ voor k = 1,2,..., en limk→∞ Sk(x) = ∥x∥.
Zij nu (xn)n=1,2,... een fundamentaalrij in l1. We tonen achtereenvolgens aan7
1.) De rij der normen ||xn∥ is begrensd.
Want (xn) een fundamentaalrij in l1 ⇒ ∥xn∥ − ∥xm∥ ≤ ∥xn − xm∥ → 0 voor n, m → ∞. Dus (∥xn∥) is een fundamentaalrij in R ⇒ (∥xn∥) convergeert ⇒ limn→∞ ∥xn∥ = C ∈ R.
2.) De rij van getallenrijen xi, i = 1, 2, . . ., convergeert componentsgewijs naar een rij x = (x1,x2,...,xk,...),
Sk(x) =
i=1
Want|xnk−xmk|≤∑∞i=1|xni −xmi |=∥xn−xm∥→0voorn,m→∞,zodatlimn→∞xnk = xk ∈ C. D.w.z. voor elke k convergeert de (xn)∞ naar een getal xk ∈ C.
1k n=1∑
3.) De rij x = (x1,x2,...,xk,...) behoort tot l , dwz |xk| convergeert.
WantS (x)=∑k |x|=∑k lim |xm|=lim ∑k |xm|=lim S (xm). k i m→∞i m→∞ i m→∞k
mi=1m i=1
Nu∀m,kSk(x )≤∥x ∥≤C zodat∀kSk(x)≤C en
4.) De rij (xn) convergeert naar x in de norm van l1.
∑∞i=1 k=1|xk|=limk→∞Sk(x)≤C.
Want bekijken we ∥xn − x∥, dan zien we Sk(xn − x) =
∑k
i=1|xni − xi| =
∑∞ |xn−xm| = = limm→∞∥xn−xm∥<εvoorn>nε. Ofwel∀ε,k∃nεn>nε ⇒Sk(xn−x)<ε.
Zodat ∀ε∃nεn > nε ⇒ limk→∞ Sk(xn −x) ≤ ε. ofwel ∀ε∃nεn > nε ⇒ ∥xn −x∥ ≤ ε.
Voorbeeld 3.4.10 (de ruimten lp). De voorbeelden 3.4.8 en 3.4.9 kunnen we zien als speciale
=∑k lim |xn−xm| = lim ∑k |xn−xm| ≤ lim
i=1 m→∞ i i m→∞ i=1 i i m→∞ i=1 i i
gevallen van de norm
(∑ )1/p
|xn|p met p≥1.
n=1,2,...
∥x∥=
Voor ieder p ≥ 1 worden rijen van complexe (of reële) getallen een Banachruimte.
Voorbeeld 3.4.11. Net als voorbeeldn 3.1.2, zijn de voorbeelden 3.1.3 en 3.1.4, met een passende definitie van de som, scalair veelvoud en norm, voorbeelden van reële Banachruimten.
Voorbeeld 3.4.12 (de ruimten Lp(Ω)). Net als de normen voor de rijtjes getallen, hierboven, kunnen ook normen voor de functies (de voorbeelden 3.1.3 en 3.1.4) gegeneraliseerd worden, Op de verzameling R der complexe (of reële) functies x = x(t), gedefinieerd en continu op een gegeven segment Ω = [a, b], kunnen we normen definiëren voor voor p ≥ 1 door
a
(∫ b )1/p
|x(t)−y(t)|p dt met p≥1 (3.8)
∥x∥=
Voor ieder p ≥ 1 wordt de verzameling van complexe (of reële) functies met eindige norm (3.8)
een Banachruimte[17]. We moeten daarvoor echter wel de juiste definitie van het begrip “functie”
7Merk op dat hier in xn het getal n niet een macht van x aangeeft, maar een boven-index n is, en dat xn een rij is met elementen xn1,xn2,xn3,xn4,··· ,xnk,···.