Page 108 - Echte wiskunde

96 P.W. Hemker kiezen, want er kan maar één functie zijn met de eigenschap ∫ b |x(t)|p dt = 0. Daarvoor moeten
a
we een nieuw begrip ‘functie’ invoeren. De nieuwe functies noemen we ook abstracte functies: alle functies x en y met ∫ b |x(t) − y(t)|p dt = 0 worden dan in één equivalentieklasse gestopt.
a
Deze (equivalentieklassen van) functies worden Lebesgue integreerbare functies genoemd. In veel toepassingen is zo’n Lp(Ω)-functie-begrip nuttiger en handiger dan het klassieke functie-begrip. We merken op dat we naast de Lp-functies met p > 1 ook nog een soort van limietgeval voor
p → ∞ kunnen beschouwen. Men introduceert dan de norm ∥x∥=essential sup |x(t)−y(t)|p.
a≤t≤b
Essentieel supremum betekent dan ‘supremum’ op een meetbare verzameling, dwz dat grote waarden op een verzameling met ‘maat nul’ voor de bepaling van het supremum niet meetellen: grote waarden van de functie die niet bijdragen tot een integraal omdat alleen maar optreden in enkele punten, tellen niet mee voor het essentieel supremum. De juiste formalisering van wat hier vaag omschreven wordt, vind men in de ‘maattheorie’[9, 17]
3.5 Lineaire deelruimten, factorruimten
Definitie 3.5.1 (Lineaire deelruimten). Zij B een Banachruimte met norm ∥ · ∥ en zij L ⊂ B
zodat geldt
x,y∈L ⇒
dan is L een lineaire ruimte en de restrictie van ∥ · ∥ tot L is een norm op L. We noemen L nu
een lineaire deelruimte van B.
Is L een gesloten deelruimte, dan is L volledig en dus een Banachruimte.
Stelling 3.5.2. Is L een lineaire deelruimte van B, dan is de afsluiting L weer een lineaire deelruimte van B (en dus een Banachruimte).
Bewijs:Alsx,y∈L,danook∀α∈C αx∈Lenx+y∈L.
(Schrijf x en y als limiet van een rij punten in L).
Opmerking 3.5.3. De afsluiting L wordt juist gevormd8 door de punten x die te schrijven zijn als limiet van een rij punten in L. Immers als x ∈ L dan bevat de omgeving U1/n(x) een punt xn ∈ L voor n ∈ N. Blijkbaar is limn→∞ xn = x. Als omgekeerd x limiet is van een rij punten in L dan is x ∈ L.
Lineair omhulsel Zij M een willekeurige niet-lege deelverzameling van B. Zij L(M)={α1x1 +α2x2 +···+αkxk | αi ∈C, xi ∈M, i=1,...,k}.
Dan is L(M) een lineaire deelruimte van B, en wel de kleinste die M omvat.
Definitie 3.5.4 (lineair omhulsel). We noemen L(M) het lineair omhulsel van M. De afslui-
ting L(M) heet het gesloten lineair omhulsel van M.
Voorbeeld 3.5.5. Zij B een willekeurige Banachruimte en M eindig. In dit geval is L(M) eindig-
dimensionaal en dus volledig. Omdat limieten eenduidig bepaald zijn geldt L(M) = L(M). 8NB. Dat geldt niet algemeen voor verzamelingen in een topologische ruimte.
{
αx ∈ L ∀α ∈ C , x+y∈L,