Page 109 - Echte wiskunde
P. 109
Echte Wiskunde 97 Stelling 3.5.6. Met B = l1 en M de verzameling van eenheidsvectoren ei,
e1 = (1,0,0,0,...), e2 = (0,1,0,0,...), ...,
is L(M) de verzameling van vectoren x = (x1, x2, x3, . . .), waarbij xi ̸= 0 voor slechts eindig veel indices i. We laten zien dat L(M) = l1, maw dat L(M) dicht ligt in l1. ∑∞
Bewijs: Zij x = (x1, x2, x3, . . .) een willekeurig element van l1. Dan is de reeks i=1 |xi| con- vergent met de som ∥x∥. Stellen we voor n ∈ N
x(n) = (x1,x2,...,xk,0,0,...)
danis x(n) ∈L(M)voorn∈N en ∥x−x(n)∥=∑∞i=n+1|xi|→0 voor n→∞.
Dus x ∈ L(M).
Stelling 3.5.7. Laat nu B = l∞ en M weer de verzameling zijn van eenheidsvectoren ei. Ook nu is L(M) de verzameling van vectoren x = (x1, x2, x3, . . .), waarbij xi ̸= 0 voor slechts eindig veel indices i. In dit geval L(M) = c0. Met c0 geven we verzameling van nulrijen9 in l∞ aan. Bewijs: (1.) Eerst bewijzen we L(M) ⊂ c0
Kies x ∈ L(M) willekeurig, dan ∀ε>0∃y∈L(M)∥x − y∥ < ε met y = (y1,y2,··· ,yn,0,0,,···) en x = (x1,x2,··· ,xn,xn+1,xn+2,···) zodat supj∈N |xj −yj| < ε. Hieruit volgt ∀j>n|xj| < ε, ofwel ∀ε∃n∈N j>n⇒|xj|<ε.Dwzxiseennulrij
(2.) Nu bewijzen we L(M) ⊃ c0
Neem x ∈ c0 willekeurig, dan weten we x = (x1,x2,··· ,xm,···) waarvoor
∀ε∃n∈N j > n ⇒ |xj| < ε. We definieren xm = (x1,x2,··· ,xm,0,0,···) ∈ L(M). Nu geldt ∀ε>0∃nε∈N∀n>nε |xn| < ε ofwel ∀ε>0∃nε∈N supn>nε |xn| < ε. Dat betekent ∀ε>0∃nε∈N∥x−xn∥l∞ < ε ofwel de rij (xm) convergeert in de norm van l∞ naar x, dus x ∈ L(M)
Uit (1.) en (2.) volgt de stelling.
Voorbeeld 3.5.8. Zij B = C[(a,b)], waarbij [a,b] een segment is. Zij M de verzameling der functies 1,t,t2,..., op [a,b]. Het is duidelijk dat L(M) de lineaire deelruimte is, bestaande uit polynomen op [a, b]. Men kan bewijzen dat L(M) = C[(a, b)].
Quotientruimten (of factorruimten) Tenslotte beschouwen we factorruimten. Zij B een Banachruimte en L een gesloten lineaire deelruimte. Dan is B onder meer een additieve groep en L een ondergroep van B. Dus valt B uiteen in nevenklassen x + L, x ∈ B; twee nevenklassen zij identiek als x−y ∈ L en disjunct als x−y ̸∈ L.
In de collectie S der nevenklassen van L definiëren we de som, het scalair veelvoud en de norm.Enwel,alsX=x+L,Y =y+L(x,y∈B)enα∈C,danstellenwe
X+Y = (x+y)+L,
αX = αX+L,
∥X∥ = inf∥ξ∥. ξ∈X
Dus de norm van een element X ∈ S is de afstand in B van de verzameling X tot de oorsprong. We laten zien dat bij de gegeven definities, S een Banachruimte is.
9Definitie: (xn) is een nulrij ⇔ ∀ε>0∃n∈N∀j>n |xj | < ε.