Page 110 - Echte wiskunde

98 P.W. Hemker
Stelling 3.5.9. De nevenklassen van een gesloten lineaire deelruimte L van een Banachruimte B vormen, bij de gegeven definitie van som, scalair product en norm, weer een Banachruimte. Deze Banachruimte heet de quotientruimte van B naar L en wordt aangegeven als B/L. Bewijs: (a) S is een additieve groep (bekend uit de groepentheorie). (b) S is zelfs een lineaire ruimte, dus o.a. α(βX) = (αβ)X (zoals eenvoudig is na te gaan). (c) de ingevoerde functie ∥ · ∥ is een norm op S. Immers (1) ∥X∥ ≥ 0. (2) ∥L∥ = 0. (3) Zij ∥X∥ = 0, dan bestaat eenrijpuntenxn ∈Xmetdeeigenschapdat∥xn∥<1/n,(n∈N).Danis∥xn∥→0voor n → ∞. Dwz de rij punten xn convergeert naar 0 in de ruimte B. Omdat de punten xn alle tot X behoren, en x gesloten is, volgt dan dat dat 0 ∈ X, dus dat X = L. (4) ∥αX∥ = infx∈X ∥αx∥∥ = |α| infx∈X ∥x∥ = |α|∥X∥. (5) Zijn X, Y twee willekeurige nevenklassen van L, dan geldt
∥X +Y∥ = inf ∥x+y∥ = inf ∥x∥+∥y∥ = inf ∥x∥+ inf ∥y∥. x∈X,y∈Y x∈X,y∈Y x∈X y∈Y
Dwz ∥X +Y∥ ≤ ∥X∥+∥Y∥.
(d) De ruimte S is volledig in de ingevoerde norm. Dit wordt als volgt bewezen.
Zij (Xn) een fundamentaaalrij in S. Dan geldt dus ∥Xn −Xm∥ → 0 als n,m → ∞. I.h.b. is ∥Xn − Xn+1∥ → 0 als n → ∞.
Geval 1: De reeks ∑ ∥Xn − Xn+1∥ convergeert. Kies punten y1, y2, . . . ∈ B zodat geldt:
y1 ∈ X1
y2 ∈ X2 − X1
···
yn ∈Xn −Xn−1 ···
∥y1∥ < ∥X1∥ + 1 2
∥y2∥ < ∥X2 − X1∥ + 1 4
∥yn∥<∥Xn −Xn−1∥+ 1 2n
Dan is ∑∥yn∥ convergent. Dus convergeert ∑ yn naar een element x. D.w.z. er bestaat een element x ∈ B zodat
∥(y1 +···+yn)−x∥→0 voor n→∞. (3.9) Anderzijds volgt uit de keuze van y1,...,yn dat y1 + ··· + yn ∈ Xn, voor n ∈ N. Stellen we
X = x + L, dan is dus
(y1 +···+yn)−x∈Xn −X.
Wegens (3.9) is dan ∥X − Xn∥ → 0 voor n → ∞. Dus de rij (Xn) convergeert naar X.
Geval 2: De reeks ∑ ∥Xn − Xn+1 ∥ convergeert niet. In dit geval kunnen we een stijgende rij indices nk kiezen, k ∈ N, zodat geldt
Dan is
en dus is de reeks
∥Xn−Xm∥< 1 als n,m≥nk. 2k
∥Xnk −Xnk+1∥< 1 voor k∈N, ∑ 2k
k ∥Xnk − Xnk+1 ∥. Wegens het vorige convergeert nu de rij (Xnk ) naar een element X ∈ S. Omdat (Xn) een fundamentaalrij is, convergeert dus ook de rij (Xn) naar X.
Voorbeeld 3.5.10. (de ruimten c en c/c0) Zij c de ruimte bestaande uit de convergente getallenrijen x = (x1, x2, . . .), met ∥x∥ = supk=1,2,... |xk|. Zij c0 de ruimte der nulrijen x =