Page 111 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 99
(x1, x2, . . .) met dezelfde norm. Beide rijen zijn gesloten lineaire deelruimten van l∞ en dus Banachruimten. Verder is c0 een gesloten lineaire deelruimte van c. We beschouwen c/c0.
Voor een willekeurig element x = (x1, x2, . . .) van c, stel met limk→∞ xk = ξ, is x + c0 juist de collectie van rijen y = (y1, y2, . . .) met limk→∞ yk = ξ. Voor elk van deze rijen is
∥y∥= sup |yk|≥∥ξ|; k=1,2,...
voor de speciale rij y(0) = (ξ,ξ,...) is ∥y(0)∥ = |ξ|. Dus is ∥x+c0∥ = |ξ|, waarbij ξ = limk→∞ xk. Merk op dat de afbeelding x + c0 → ξ een éénéénduidige lineaire afbeelding is van c/c0 op C.
Blijkens het resultaat is deze afbeelding een isometrie.
3.6 ** Stefan Banach **
Stephan Banachs vader heette Stefan Greczek. We merken meteen op dat Banach niet zijn vaders achternaam was, maar Banach kreeg zijn voornaam. Stefan Grizek was ambtenaar bij de belastingen, die niet getrouwd was met Banach’s moeder, die van het toneel verdween nadat Stefan gedoopt was toen hij vier dagen oud was, en van haar is niets meer bekend. De naam die opgegeven staat op zijn geboortebewijs is Katarzyna Banach. Sommigen denken dat dat een dienstbode van Stefan’s moeder was, maar anderen beweren dat dat zij een wasvrouw was die voor Stefan zorgde toen hij heel jong was. Later probeerde Banach wel te achterhalen wie zijn moeder was maar zijn vader weigerde daarover iets te zeggen, behalve dat hij gezworen had haar identiteit niet te zullen bekendmaken.
Stefan Greczek kwam uit een klein dorp, Ostrowsko, ongeveer 50km ten zuiden van Krakau. Na zijn doop werd Banach naar Ostrowsko meegenomen, naar het huis van zijn grootmoeder. Maar toen Banach’s grootmoeder ziek werd, regelde Stefan Greczek dat zijn zoon grootgebracht werd door Franciszka Plowa die in Krakau leefde met haar dochter Maria. Hoewel Banach nooit terugging om bij zijn grootmoeder te wonen, bezocht hij haar regelmatig toen hij opgroeide. Maria’s oppasser was een Franse intelectueel, Juliusz Mien, en die herkende snel de talenten die Banach had. Mien leerde de jongen Frans spreken en hij bracht hem meer in het algemeen waardering voor educatie bij.
Stefan Banach, 1919
Banach volgde de lagere school in Krakau en hij verliet die school in 1902 om zijn opvoeding bij het Henryk Sienkiewicz Gymnasium No 4 in Krakau voort te zetten. Door een gelukkig toeval was een van de leerlingen in Banach’s klas Witold Wilkosz die zelf ook wiskunde-professor zou worden. De school schijnt niet een bijzonder goede geweest te zijn en in 1906 vertrok Witold Wilkosz om naar een beter Gymnasium te vertrekken. Maar Banach bleef op het Henryk Sienkiewicz Gymnasium No 4 hoewel hij wel kontact bleef houden met Wilkosz.
In de eerste jaren op het Gymnasium haalde Banach hoge cijfers voor wiskunde en de na- tuurwetenschappen, wat zijn beste vakken waren. Een medeleerling herinnerde zich Banach in deze periode van zijn leven [R Kaluza, The life of Stefan Banach (Boston, 1996)]:
[Banach] ging heel plezierig met zijn medeleerlingen om, maar behalve in wiskunde was hij in niets anders geïnteresseerd. Als hij al sprak, sprak hij erg snel, zo snel als hij wiskundig kon denken. ... Wilkosz was net zo’n iemand. Voor die twee was er geen wiskundig probleem dat ze