Page 106 - Echte wiskunde

94 P.W. Hemker
Voorbeeld 3.4.5 (de ruimte Ck). De complexe Euclidische ruimte Ck, met k ∈ N, is een lineaire ruimte. Deze ruimte bestaat uit alle rijtjes (α1, . . . , αk) van k complexe getallen, met de gebruikelijke definitie van complex veelvoud. Mogelijke normen op Ck zijn

∑k i=1
∑k
|αi|,
In ieder van deze normen is Ck een Banachruimte.
i=1,...,k
=supk=1,2,...|xk|.
Deze ruimte wordt gewoonlijk aangegeven met l∞(T).
|αi|2, max |αi|.
i=1
Voorbeeld 3.4.6 (de ruimte C([a,b])). De ruimte van complexwaardige continue functies op een eindig segment [a,b] is een Banachruimte. Deze ruimte wordt aangegeven met C([a,b]). Voor de elementen van deze ruimte, de functies x(t), a ≤ t ≤ b, worden optelling, scalaire vermenigvuldiging en norm gedefinieerd door:
 (x+y)(t) = x(t)+y(t) a≤t≤b,
 (αx)(t) = α x(t) a ≤ t ≤ b (3.6) ∥x∥ = maxa≤t≤b|x(t)|.
De functies x+y en αx behoren weer tot C([a,b]) en het is gemakkelijk na te gaan dat aan de eisen van een lineaire ruimte en van een norm is voldaan. Is (x(n)) een fundamentaalrij in C([a,b]) dan voldoet de rij functies (x(n)) op [a,b] aan de uniforme Cauchyvoorwaarde. Deze rij convergeert dan in de norm van C([a,b]) naar een element x ∈ C([a,b]). (Zie voorbeeld 3.1.3). Dus C([a, b]) is een Banachruimte.
Voorbeeld 3.4.7 (de ruimte B(T)). De ruimte B(T), met T een willekeurige niet-lege verza- meling. De elementen van deze ruimte zijn de begrensde complexwaardige functies x = x(t) op T . De som en scalair veelvoud worden gedefinieerd als in (3.6) en de norm van het element is
∥x∥ = sup |x(t)| . t∈T
Aan alle eisen voor een Banachruimte zijn voldaan. I.h.b. wordt de volledigheid als volgt bewezen: Is (x(n)) een fundamentaalrij in B(T), dan convergeren de functies uniform op T naar een functie x en is met de functies x(n) ook x begrensd op T, zodat x(n) → x ∈ B(T).
Voorbeeld 3.4.8 (de ruimte l∞). We nemen in het laatste voorbeeld T = N. We krijgen dan de Banachruimte met als elementen alle begrensde rijen complexe getallen x = (x1, x2, . . .),
waarbij
 (x + y)(t)  (αx)(t)  ∥x∥
= (x1,x2,...) + (y1,y2,...) = (x1 + y1,x2 + y2,...),
= α(x1,x2,...) = (αx1,αx2,...) (3.7)
Voorbeeld 3.4.9 (de ruimte l1). Deze ruimte bestaat uit de rijen complexe getallen x = (x1,x2,...), waarvoor ∑|xn| < ∞. De som en het scalaire veelvoud worden weer gedefinieerd als in (3.7). Daarmee krijgen we een lineaire ruimte. De norm is nu
∑
n=1,2,...
∥x∥ =
|xn| .