Page 103 - Echte wiskunde

Echte Wiskunde 91
Opmerking 3.2.5. Een stelsel lineair onafhankelijke vectoren x1 , x2 , ..., xk ∈ R heet maximaal als het niet uit te breiden is met een element xk+1 ∈ R zodat x1,x2,...,xk+1 ook een lineair onafhankelijk stelsel is.
Is een stelsel x1, x2, ..., xk maximaal, dan geldt: (i) elk element y ∈ R is te schrijven als
y=α1x1 +···+αkxk
Wezeggendathetstelselx1,x2,...,xk deruimteRopspant.
(ii) elk stelsel van k onafhankelijke elementen y1, y2, ..., yk ∈ R is maximaal. We noemen k de dimensie van R en zo’n stelsel y1, y2, ..., yk een basis van R.
Opmerking 3.2.6. Is R een (complexe) lineaire ruimte van dimensie k, dan kan ze ook opgevat worden als een reële lineaire ruimte van dimensie 2k.
Opmerking 3.2.7. Is geen enkel eindig stelsel x1 , x2 , ..., xk ∈ R maximaal, dan wordt de ruimte dus niet opgespannen door eindig veel vectoren. Dan heet R van oneindige dimensie.
3.3 Genormeerde lineaire ruimten
Definitie 3.3.1 (genormeerde lineaire ruimte). Een lineaire ruimte R heet genormeerd als op R een reële functie ∥ · ∥ gedefinieerd is, zodanig dat geldt:
(i) ∥x∥ ≥ 0 ∀x∈R
(ii) ∥x∥=0 ⇔ x=0 ∀x∈R
(iii) ∥αx∥ = |α| · ∥x∥ ∀x∈R,α∈C
(iv) ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥ ∀x,y∈R
De functie ∥ · ∥ : R → R heet de norm van R. Opmerking 3.3.2. Als we stellen
ρ(x, y) := ∥x − y∥
∀x,y∈R ,
dan is ρ een metriek op R, zoals we eenvoudig kunnen nagaan6. De genormeerde lineaire ruimte is dus tevens een metrieke ruimte.
We merken op dat er ook metrieken mogelijk zijn die geen norm zijn, zoals bijvoorbeeld ρ(x, y) = √|x − y| op de reële lineaire ruimte R.
Opmerking 3.3.3. Omdat
is ∥x∥ een continue functie van x.

∥x∥ − ∥x0∥ ≤ ∥x − x0∥ ,
Stelling 3.3.4. In een eindig-dimensionale genormeerde lineaire ruimte met een basis {x1, . . . , xk} bestaan er constanten C1 en C2 zodat voor een willekeurige
x=α1x1 +···+αkxk
6Want de eigenschappen (i), (ii) en (iii) van de metriek volgen direkt, en (iv) volgt uit
ρ(x, z)2 = ∥x − z∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y − z∥ ≤ ∥x − y∥ + 2√∥x − y∥√∥y − z∥ + ∥y − z∥ = (√√)2 2
∥x−y∥+ ∥y−z∥ =(ρ(x,y)+ρ(y,z)) .