Page 98 - Echte wiskunde

86 P.W. Hemker Voorbeeld 3.1.5. Een deelverzameling van een metrische ruimte R, met metriek ρ, is in diezelfde
metriek weer een metrische ruimte. We spreken dan van deelruimte van R.
Definitie 3.1.6 (ε-omgeving). Zij R een metrische ruimte met metriek ρ. Voor a ∈ R en ε > 0
heet
Uε(a) = { x | x ∈ R en ρ(a,x) < ε }
Met behulp van dit begrip definieert men op de gebruikelijke wijze1
(i) een inwendig punt van een verzameling A ⊂ R,
(ii) een verdichtingspunt van een verzameling A ⊂ R,
(iii) een open verzameling,
(iv) een gesloten verzameling.
Definitie 3.1.7 (compacte verzameling in een metrische ruimte). Een metrische ruimte R met metriek ρ heet compact als elke oneindige deelverzameling van R een verdichtingspunt in R heeft. Een verzameling A in R heet compact als A, opgevat als metrische ruimte in de metriek ρ, compact is.
Een equivalente definitie is: R is compact als elke open overdekking een eindige deeloverdek- king bevat. We gaan hier niet op in. (Zie bijvoorbeeld [13].)
Eigenschappen van een compacte verzameling zijn:
(i) Een compacte verzameling in R is gesloten.
(ii) Een reële continue functie op een compacte verzameling A in R neemt
op A een maximum en een minimum aan.
Bijv. de functie ρ(a, x), met a ∈ R vast. Deze functie is continu2 omdat
|ρ(a,x) − ρ(a,x0))| ≤ ρ(x,x0) < ε voor x ∈ Uε(x0).
Opmerking 3.1.8. De functie ρ(a, x), met a ∈ R vast, is begrensd op elke compacte verzameling in R. In deze zin is dus een compacte verzameling begrensd.
Het is niet waar dat elke gesloten begrensde verzameling in R altijd compact is: beschouw een metrische ruimte R met oneindig veel punten en met ρ(x, y) = 1 als x ̸= y.
Definitie 3.1.9 (een convergente rij in een metrische ruimte). Een rij (an) in een metri- sche ruimte R met metriek ρ, heet convergent naar a ∈ R, als3 bij elke ε > 0 een index n0 = n0(ε) bestaat, zodat n > n0 ⇒ ρ(an, a) < ε. We schrijven dan
lim an =a. n→∞
De limiet van een convergente rij is eenduidig bepaald. (ga eenvoudig na!)
1Deze definities zie je in veel gebieden van de wiskunde terug:
(i) Een punt p ∈ R is een verdichtingspunt van A ⊂ R ⇔ ∀ε>0∃z∈A 0 < ρ(p,z) < ε. (ii) Een punt p ∈ R is een inwendig punt van A ⊂ R ⇔ ∃ε0>0∀ε<ε0 Uε(p) ⊂ A. (iii) A ⊂ R is een open verzameling ⇔ Alle punten a ∈ A zijn inwendig punt.
(iv) A ⊂ R is een gesloten verzameling ⇔ R \ A is een open verzameling.
2Eenafbeeldingf:R→Rheetcontinu ⇔ ∀ε>0∃δ>0∀x,y∈R ρ(x,y)<δ→|f(x)−f(y)|<ε. 3In formule-vorm: ∀ε>0∃n0∈N ∀n>n0 ρ(an,a) < ε.
de ε-omgeving van a in R.