Page 17 - Kalkulus Lanjut

2.4 Turunan Implisit
Umumnya, sebuah persamaan seperti f(x,y,z)=0 mendefinisikan satu variabel,

misalnya, z sebagai fungsi dari dua variabel lainnya x dan y. Karenanya z kadang-kadang
disebut fungsi implisit dari x dan y, yang berbeda dengan apa yang disebut fungsi eksplisit f,

dimana z=f(x,y), yang sedemikian rupa sehingga f(x,y,z)=0.

Teorema (Turunan Implisit tiga Variable)
Jika F(x,y,z) = 0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel sedemikian

hingga z = f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka
z  = − F x (x , , y ) z z  = − F y (x , , y ) z

x  F z (x , , y ) z y  F z (x , , y ) z

Teorema (Turunan Implisit empat Variabel)

Jika f(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel sedemikian
hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka

 w = − F x (x , , y , z ) w  w = − F z (x , , y , z ) w  w = − F y (x , , y , z ) w
x  F (x , , y , z ) w z  F (x , , y , z ) w y  F (x , , y , z ) w
w w w

Contoh :
z  z  2
+
6. Dapatkan dan untuk x sin 2 ( y − 5z ) = 1 y cos 6 ( zx )
x  y 
Penyelesaian:

• Persamaan ditulis dalam bentuk (xf , y , z ) = 0 maka

x 2 sin 2 ( y − 5z ) − 1− y cos 6 ( zx ) = 0 .

−
f   (x 2 sin 2 ( y − 5z ) − 1 y cos 6 ( zx ))
z  f x  x  2x sin( 2y − 5z ) + 6yz sin( 6zx )
= − x = − = − = −
x  f z f   (x 2 sin 2 ( y − 5z ) − 1 y cos 6 ( zx )) − 5x 2 cos( 2y − 5z ) + 6yx sin( 6zx )
−
z  z 
− 2x sin( 2y − 5z ) − 6yz sin( 6zx ) 2x sin( 2y − 5z ) + 6yz sin( 6zx )
= =
− 5x 2 cos( 2y − 5z ) + 6yx sin( 6zx ) 5x 2 cos( 2y − 5z ) − 6yx sin( 6zx )

13