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Capítulo 22

Geometría analítica IV

ÁREA DE FIGURAS EN EL PLANO CARTESIANO

¿Cómo calculamos el área
de un polígono conociendo
las coordenadas de sus Aparte del car-
vértices? tesiano, ¿existen
otros sistemas de
coordenadas?

Personaje
Área del triÁngulo
(1; 3) Calculemos el área del triángulo mostrado:
Coordenadas de los vértices Felix Christian Klein
(Alemania: 1849 - 1925)
Producto Producto
–2 –1 hacia abajo hacia arriba
S 1 1 3 1
S = 3 –3 S = |(–6 – 3 – 3) – (–1 + 9 + 6)|
(–2; –1) 2 –2 –1 2
1
1
Se repite la S = |–12 – 14|= (26) S = 13 m 2
(3; –3) 1ª coordenada 2 2
Problema 1 Resolución:
Calcule el área del 1 2
1
1 4 3
triángulo cuyos vér- S = = |(3 + 28 + 6) – (8 + 9 + 7)|
tices son (1; 2), (4; 3) 2 3 7 2 Matemático alemán que Resuelve problemas de forma, movimiento y localización (Geometría)
demostró que las geome-
y (3; 7). 1 2 trías métricas, euclidianas o
1
S = |37 – 24| = 6,5 no euclidianas, constituyen
2 Rpta.: 6,5 m 2 casos particulares de la geo-
metría proyectiva. En 1872,
Área de un polígono presentó una notable cla-
sificación de la geometría,
Calculemos el área de esta región. Procedemos igual que para el triángulo. el "programa de Erlangen",
(2; 4) En este caso consideramos los 4 vértices. que puso fin a la escisión
 Geniomatic E.I.R.L. Prohibida su reproducción. D. Leg. N° 822
(–2; 3) –3 0 entre geometría pura y
–2 3 geometría analítica. En esta
1 1 clasificación el concepto de
S S = 2 4 = |(–9 – 8 – 2 + 0) – (0 + 6 + 12 + 3)|
2 3 –1 2 grupo desempeña un papel
(–3; 0) –3 0 fundamental, ya que el
objeto de cada geometría se
1
(3; –1) S = |–19 – 21| = 40 S = 20 m 2 convierte en el estudio del
2 2
grupo de transformaciones
Problema 2 Resolución: (2; 3) (5; 2) que la caracteriza.
2 3
Los extremos de la Lleva su nombre la célebre Prohibida su reproducción total o parcial
base mayor de un 1 5 2 botella de Klein, superficie
trapecio son (–1; 0) S = 5 –2 con una sola cara.
2
y (5; –2) y los extre- –1 0 (–1; 0) (5; –2)
mos de la base me- 2 3
1
nor, (2; 3) y (5; 2). S = |(4 – 10 + 0 – 3) – (15 + 10 + 2 + 0)|
Calcule el área del 2
trapecio. 1 1
S = |–9 – 27|= (36)  S = 18
2 2
Rpta.: 18

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